(1,5) Calcule a quarta derivada da função f(x)=ln (x^2+1).

Passo 1

Beleza, o exercício pede a quarta derivada da função f(x)=lnl(x^2+1r). Para resolver isso vamos usar regra da cadeia na primeira derivada e depois regra do quociente repetidas vezes para chegar em f^(4)(x).

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de primeira ordem usando (ln u)'=u'/u com u=x^2+1:
f'(x)=(x^2+1)'x^2+1 =2xx^2+1

Passo 3

Agora a segunda derivada, aplicando regra do quociente em f'(x)=2xx^2+1:
f''(x) =2,(x^2+1)-2xcdot(2x)(x^2+1)^2 =2-2x^2(x^2+1)^2

Passo 4

Para a terceira derivada, derivamos
f''(x)=2(1-x^2)(x^2+1)^2
novamente por quociente (ou produto), obtendo
f'''(x) =-4x,(3 - x^2)(x^2+1)^3

Passo 5

Finalmente, a quarta derivada vem de derivar
f'''(x)=g(x)(x^2+1)^3
com g(x)=-4x(3-x^2). Aplicando a regra do quociente e simplificando, chega-se a
f^(4)(x) =12l(3x^4-6x^2-1r)(x^2+1)^4

Resposta

f^(4)(x)=12l(3x^4-6x^2-1r)(x^2+1)^4

Exercícios relacionados