Calcule os pontos extremos de f(x)=a x^2+b x+c ; a, b, c in R e a neq 0.

Passo 1

Temos a função quadrática f(x)=ax^2+bx+c, com aneq0. O conteúdo é encontrar o ponto extremo de uma função real usando derivadas: vamos precisar da derivada primeira para achar o ponto crítico e da segunda para classificar o extremo.

Passo 2

Para achar o ponto crítico, calculamos a derivada primeira da função.
f'(x)=2ax+b
Igualando a zero, obtemos o valor de x que anula a derivada:
2ax+b=0
x0=-b2a

Passo 3

Para saber se esse ponto é mínimo ou máximo, usamos a derivada segunda.
f''(x)=2a
Como aneq0, se a>0 então f''(x)>0 e temos mínimo; se a<0 então f''(x)<0 e temos máximo.

Passo 4

Agora calculamos o valor da função em x0=-b2a. Substituindo em f(x):
fl(x0r)=al(-b2ar)^2+bl(-b2ar)+c
Fazendo as contas:
f(x0)=b^24a-b^22a+c=-b^24a+c

Resposta

O ponto extremo é l(-tfracb2a,,c-tfracb^24ar), que é mínimo se a>0 e máximo se a<0.

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