Mostre que se duas funções têm a mesma derivada em um intervalo, então elas diferem por uma constante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se duas funções f e g são deriváveis num mesmo intervalo I e satisfazem f’(x)=g’(x) para todo x em I, então f e g diferem apenas por uma constante. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Médio (TVM) e a noção de derivada de diferença de funções.
Passo 2
Definimos a função h(x)=f(x)−g(x). Como f e g são deriváveis em I, h também é derivável. Calculamos a derivada de h:
Passo 3
Pela hipótese f’(x)=g’(x) em todo x∈I, temos h’(x)=0 para todo x em I.
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema do Valor Médio em h no intervalo arbitrário [x₀,x], com x₀,x∈I. Existe c entre x₀ e x tal que
Passo 5
Da equação acima segue h(x)=h(x₀) para todo x em I, ou seja, h é constante no intervalo.
Passo 6
Como h(x)=f(x)−g(x), concluímos que f(x)−g(x) é uma constante em I.
Resposta
Existe uma constante C tal que f(x)−g(x)=C para todo x no intervalo I.