DETERMINE A EQUAÇÃO DO plano tangente a esfera de centro (1,1,1) e raio R=3 no ponto de abscissa x=2 e orden y=3.

Passo 1

Neste exercício queremos achar a equação do plano tangente à esfera de centro (1,1,1) e raio R=3 no ponto cuja projeção no plano xy é (2,3). Vamos precisar usar a definição de superfície implícita e o vetor gradiente como normal ao plano tangente.

Passo 2

A equação da esfera é
(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 9
Substituindo x=2 e y=3 obtemos
(2-1)^2 + (3-1)^2 + (z-1)^2 = 9 ,implies, 1 + 4 + (z-1)^2 = 9 ,implies, (z-1)^2 = 4
Logo as soluções são z-1=2 e z-1=-2, isto é, os pontos possíveis são
P1 = (2,3,3)
e
P2 = (2,3,-1)

Passo 3

Para cada ponto a superfície pode ser vista como nível de
F(x,y,z) = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 - 9 = 0
e o vetor gradiente nabla F fornece a normal ao plano tangente. Calculando: nabla F(x,y,z) = (2(x-1),,2(y-1),,2(z-1)).

Passo 4

No ponto P1=(2,3,3) temos
nabla F(P1) = (2cdot1,,2cdot2,,2cdot2) = (2,4,4)
Podemos simplificar o vetor para (1,2,2). A equação geral do plano tangente em P1 é
(1)(x-2) + 2(y-3) + 2(z-3) = 0
que se expande e simplifica para
x + 2y + 2z = 14

Passo 5

No ponto P2=(2,3,-1) calculamos
nabla F(P2) = (2cdot1,,2cdot2,,2cdot(-2)) = (2,4,-4)
ou simplificado (1,2,-2). O plano tangente satisfaz
1(x-2) + 2(y-3) -2(z+1) = 0
que leva a
x + 2y - 2z = 10

Resposta

As duas equações possíveis do plano tangente são
x + 2y + 2z = 14
ou
x + 2y - 2z = 10.

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