DETERMINE A EQUAÇÃO DO plano tangente a esfera de centro (1,1,1) e raio R=3 no ponto de abscissa x=2 e orden y=3.
Passo 1
Neste exercício queremos achar a equação do plano tangente à esfera de centro
e raio
no ponto cuja projeção no plano
é
. Vamos precisar usar a definição de superfície implícita e o vetor gradiente como normal ao plano tangente.
Passo 2
A equação da esfera é
Substituindo
e
obtemos
Logo as soluções são
e
, isto é, os pontos possíveis são
e
Passo 3
Para cada ponto a superfície pode ser vista como nível de
e o vetor gradiente
fornece a normal ao plano tangente. Calculando:
.
Passo 4
No ponto
temos
Podemos simplificar o vetor para
. A equação geral do plano tangente em
é
que se expande e simplifica para
Passo 5
No ponto
calculamos
ou simplificado
. O plano tangente satisfaz
que leva a
Resposta
As duas equações possíveis do plano tangente são
x + 2y + 2z = 14
ou
x + 2y - 2z = 10.
x + 2y + 2z = 14
ou
x + 2y - 2z = 10.