Calcule os pontos de inflexão (caso existam) e estude a concavidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os pontos de inflexão da função $ f(x) = \ln \left(x^{2} - 4x + 5\right) $ e estudar a concavidade dela. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de derivadas e concavidade de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função e analisar onde a concavidade muda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u $ é a função dentro do logaritmo. Aqui, $ u = x^{2} - 4x + 5 $. Então, derivando:
Isso nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da função.
Passo 3
Agora vamos para a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. Para isso, vamos derivar $ f’(x) $ novamente. Usamos a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a segunda derivada fica:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, a gente precisa resolver $ f’’(x) = 0 $, ou seja:
Vamos dividir tudo por -2 para simplificar:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, $ x = 1 $ e $ x = 3 $.
Passo 5
Agora, vamos verificar se nesses pontos a concavidade realmente muda. Escolhemos valores próximos a 1 e 3 e analisamos o sinal da segunda derivada $ f’’(x) $:
- Para $ x < 1 $, por exemplo, $ x = 0 $:
- Entre 1 e 3, por exemplo, $ x = 2 $:
- Para $ x > 3 $, por exemplo, $ x = 4 $:
Isso mostra que a concavidade muda em $ x = 1 $ e $ x = 3 $, confirmando que esses são pontos de inflexão.
Resposta
Os pontos de inflexão da função são $ x = 1 $ e $ x = 3 $. A concavidade da função $ f(x) = \ln \left(x^{2} - 4x + 5\right) $ é para baixo quando $ x < 1 $ e $ x > 3 $, e para cima quando $ 1 < x < 3 $.