Encontre os intervalos em que a função
é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar em quais intervalos a função $ f(x) = e^{-x} \cos x $ está crescendo ou decrescendo no intervalo de $ x $ entre $ 0 $ e $ 2\pi $. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta (se está aumentando ou diminuindo).
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto. Para a função $ f(x) = e^{-x} \cos x $, vamos usar a regra do produto para derivar, já que é o produto de duas funções: $ e^{-x} $ e $ \cos x $.
A regra do produto diz que:
Então, aplicando isso:
Sabemos que:
Substituindo esses resultados:
Podemos fatorar $ -e^{-x} $:
Passo 3
Agora que temos a derivada $ f’(x) = -e^{-x} (\cos x + \sin x) $, precisamos determinar onde essa derivada é positiva ou negativa no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Sabemos que $ e^{-x} $ é sempre positivo para qualquer valor de $ x $, então o sinal de $ f’(x) $ depende apenas de $ -(\cos x + \sin x) $.
Portanto, vamos analisar o sinal de $ \cos x + \sin x $:
Então, precisamos encontrar os valores de $ x $ onde $ \cos x + \sin x $ é positivo ou negativo.
Passo 4
Para resolver $ \cos x + \sin x = 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ \cos x $ (quando $ \cos x \neq 0 $):
As soluções para $ \tan x = -1 $ no intervalo $ [0, 2\pi] $ são:
Agora, vamos analisar o sinal de $ \cos x + \sin x $ nos intervalos determinados por essas soluções:
- $ 0 \leq x < \frac{3\pi}{4} $
- $ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4} $
- $ \frac{7\pi}{4} < x \leq 2\pi $
Escolhemos um ponto de teste em cada intervalo:
- Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
Então, $ \cos x + \sin x > 0 $ nesse intervalo.
- Para $ x = \pi $:
Então, $ \cos x + \sin x < 0 $ nesse intervalo.
- Para $ x = \frac{3\pi}{2} $:
Então, $ \cos x + \sin x < 0 $ nesse intervalo.
Passo 5
Com base nas análises anteriores:
-
Quando $ \cos x + \sin x > 0 $, ou seja, para $ 0 \leq x < \frac{3\pi}{4} $ e $ \frac{7\pi}{4} < x \leq 2\pi $, a derivada $ f’(x) < 0 $, então a função está decrescente nesses intervalos.
-
Quando $ \cos x + \sin x < 0 $, ou seja, para $ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4} $, a derivada $ f’(x) > 0 $, então a função está crescente nesse intervalo.
Resposta
A função $ f(x) = e^{-x} \cos x $ é:
- Decrescente nos intervalos $ [0, \frac{3\pi}{4}) $ e $ (\frac{7\pi}{4}, 2\pi] $.
- Crescente no intervalo $ (\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}) $.