Encontre os intervalos em que a função f(x)=e^-x cos x, x in[0,2 pi] é estritamente crescente ou estritamente decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar em quais intervalos a função $ f(x) = e^{-x} \cos x $ está crescendo ou decrescendo no intervalo de $ x $ entre $ 0 $ e $ 2\pi $. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta (se está aumentando ou diminuindo).

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto. Para a função $ f(x) = e^{-x} \cos x $, vamos usar a regra do produto para derivar, já que é o produto de duas funções: $ e^{-x} $ e $ \cos x $.
A regra do produto diz que:
f(x)
Então, aplicando isso:
f(x) = e^-x cos x
Sabemos que:
e^-x
cos x
Substituindo esses resultados:
(f cdot g)' = f' cdot g + f cdot g'
Podemos fatorar $ -e^{-x} $:
f'(x) = ddx(e^-x) cdot cos x + e^-x cdot ddx(cos x)

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = -e^{-x} (\cos x + \sin x) $, precisamos determinar onde essa derivada é positiva ou negativa no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Sabemos que $ e^{-x} $ é sempre positivo para qualquer valor de $ x $, então o sinal de $ f’(x) $ depende apenas de $ -(\cos x + \sin x) $.
Portanto, vamos analisar o sinal de $ \cos x + \sin x $:
f'(x) = -e^-x (cos x + sin x)
0
Então, precisamos encontrar os valores de $ x $ onde $ \cos x + \sin x $ é positivo ou negativo.

Passo 4

Para resolver $ \cos x + \sin x = 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ \cos x $ (quando $ \cos x \neq 0 $):
cos x + sin x = 0
As soluções para $ \tan x = -1 $ no intervalo $ [0, 2\pi] $ são:
cos x
Agora, vamos analisar o sinal de $ \cos x + \sin x $ nos intervalos determinados por essas soluções:
  1. $ 0 \leq x < \frac{3\pi}{4} $
  2. $ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4} $
  3. $ \frac{7\pi}{4} < x \leq 2\pi $
Escolhemos um ponto de teste em cada intervalo:
  1. Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
cos x neq 0
Então, $ \cos x + \sin x > 0 $ nesse intervalo.
  1. Para $ x = \pi $:
1 + tan x = 0 implies tan x = -1
Então, $ \cos x + \sin x < 0 $ nesse intervalo.
  1. Para $ x = \frac{3\pi}{2} $:
tan x = -1
Então, $ \cos x + \sin x < 0 $ nesse intervalo.

Passo 5

Com base nas análises anteriores:
  • Quando $ \cos x + \sin x > 0 $, ou seja, para $ 0 \leq x < \frac{3\pi}{4} $ e $ \frac{7\pi}{4} < x \leq 2\pi $, a derivada $ f’(x) < 0 $, então a função está decrescente nesses intervalos.
  • Quando $ \cos x + \sin x < 0 $, ou seja, para $ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4} $, a derivada $ f’(x) > 0 $, então a função está crescente nesse intervalo.

Resposta

A função $ f(x) = e^{-x} \cos x $ é:
  • Decrescente nos intervalos $ [0, \frac{3\pi}{4}) $ e $ (\frac{7\pi}{4}, 2\pi] $.
  • Crescente no intervalo $ (\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}) $.

Exercícios relacionados