Calcule os pontos de inflexão (se existem) e estude a concavidade de:
y=x^2+9(x-3)^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a concavidade e encontrar pontos de inflexão da função
y=x^2+9(x-3)^2,
cujo domínio é xneq3. Para isso vamos precisar calcular a primeira derivada y' (para depois obter y'') e analisar o sinal de y''.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para
y=uv, u=x^2+9, v=(x-3)^2
Temos
u'=2x, v'=2(x-3),
e
y'=u'v - u,v'v^2 =2x,(x-3)^2 - (x^2+9),2(x-3)(x-3)^4

Passo 3

Fatoramos o numerador de y':
2x(x-3)^2 - 2(x^2+9)(x-3) =2(x-3)l[x(x-3)-(x^2+9)r] =2(x-3)l[x^2-3x - x^2-9r] =-6(x-3)(x+3)
Logo
y'=-6,(x-3)(x+3)(x-3)^4 =-6,x+3(x-3)^3

Passo 4

Agora diferenciamos y'=-6(x+3)(x-3)^-3 usando a regra do produto:
y''=-6l[1cdot(x-3)^-3+(x+3)cdot(-3)(x-3)^-4r]

Passo 5

Colocando em evidência (x-3)^-4:
y''=-6l[(x-3)-(3(x+3))r],(x-3)^-4 =-6(-2x-12)(x-3)^-4 =12,x+6(x-3)^4

Passo 6

Como (x-3)^4>0 para todo xneq3, o sinal de y'' vem do fator x+6. Assim:
se x+6<0, ou seja x<-6, então y''<0 (concavidade para baixo);
se x+6>0, ou seja x>-6, então y''>0 (concavidade para cima).
A mudança de sinal em x=-6 indica ponto de inflexão.

Resposta

Ponto de inflexão em l(-6,tfrac59r).
Concavidade para baixo em (-infty,-6) e concavidade para cima em (-6,3)cup(3,infty).

Exercícios relacionados