Exemplo 3
Calcule integral duplaS F cdot n d S, sendo F(x, y, z)=x i+y j+z k e S a parte do cilindro x^2+y^2=4 entre z=0 e y+z=3, com a orientação normal que aponta para o eixo z.

Passo 1

O enunciado pede calcular o fluxo do campo
F(x,y,z)=x,i+y,j+z,k
através da parte lateral do cilindro x^2+y^2=4 entre as “bases” z=0 e y+z=3, usando a normal que aponta para o eixo z (isto é, para dentro do cilindro). Isso envolve parametrizar a superfície cilíndrica, determinar o vetor normal unitário e integrar vec Fcdotvec n,dS.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro por
x=2costheta, y=2sintheta, z=z,
com thetain[0,2pi] e z variando de 0 até 3-y=3-2sintheta.
A normal unitária radial apontando para fora é
hat nout=(costheta,;sintheta,;0),
logo a normal que aponta para o eixo z (para dentro) é
vec n=-hat nout=(-costheta,,-sintheta,,0)
O elemento de área é
dS=|partialtheta rtimespartialz r|,dtheta,dz =2,dtheta,dz

Passo 3

Em um ponto genérico da parametrização,
vec F=(x,y,z)=(2costheta,;2sintheta,;z)
e
vec Fcdotvec n =2costhetacdot(-costheta)+2sinthetacdot(-sintheta)+zcdot0 =-2(cos^2theta+sin^2theta) =-2
Portanto o integrando é constante:
vec Fcdotvec n,dS=(-2)cdot(2,dtheta,dz)=-4,dtheta,dz

Passo 4

Agora integramos em theta e em z:
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =integraltheta=0^2piintegralz=0^3-2sintheta(-4),dz,dtheta =-4integral0^2pil(3-2sinthetar),dtheta
Como integral0^2pisintheta,dtheta=0, temos
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =-4l[3cdot2pi -2cdot0r] =-24pi

Resposta

-24pi

Exercícios relacionados