Exemplo 3
Calcule
, sendo
e
a parte do cilindro
entre
e
, com a orientação normal que aponta para o eixo
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o fluxo do campo
através da parte lateral do cilindro
entre as “bases”
e
, usando a normal que aponta para o eixo
(isto é, para dentro do cilindro). Isso envolve parametrizar a superfície cilíndrica, determinar o vetor normal unitário e integrar
.
Passo 2
Parametrizamos o cilindro por
com
e
variando de
até
.
A normal unitária radial apontando para fora é
A normal unitária radial apontando para fora é
logo a normal que aponta para o eixo
(para dentro) é
O elemento de área é
Passo 3
Em um ponto genérico da parametrização,
e
Portanto o integrando é constante:
Passo 4
Agora integramos em
e em
:
Como
, temos