Calcule os pontos de máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
y=(x+2)(x-2)^5

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y=(x+2)(x-2)^5
e pede os extremos relativos. O conteúdo aqui é usar a derivada primeira para obter pontos críticos e depois analisar o sinal de y' para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Calculamos a derivada por regra do produto:
y'=ddx[(x+2)(x-2)^5] =(x+2)cdot5(x-2)^4+1cdot(x-2)^5
Fatorando (x-2)^4 e somando termos,
y'=(x-2)^4l[5(x+2)+(x-2)r] =(x-2)^4(6x+8) =2(x-2)^4(3x+4)

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem
2(x-2)^4(3x+4)=0,
logo temos x=2 (multiplicidade 4) e 3x+4=0, isto é x=-tfrac43.

Passo 4

No ponto x=2 o fator (x-2)^4 anula y' mas, por ser de multiplicidade par, o sinal de y' não muda (é positivo dos dois lados). Portanto não há extremo em x=2.

Passo 5

No ponto x=-tfrac43 temos (x-2)^4>0, de modo que o sinal de y' é o sinal de 3x+4. Para x<-tfrac43 nota-se 3x+4<0 e para -tfrac43<x<2 nota-se 3x+4>0. Assim y' muda de negativo para positivo em x=-tfrac43, caracterizando um mínimo relativo. Seu valor é
yl(-tfrac43r) =l(-tfrac43+2r)l(-tfrac43-2r)^5 =tfrac23l(-tfrac103r)^5 =-tfrac200000729

Resposta

O único extremo relativo é um mínimo em l(-tfrac43,-tfrac200000729r); não há ponto de máximo relativo.

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