(4,0) Calcule:
os pontos sobre a hipérbole x^2-y^24=1 em que a reta tangente tem inclinação 4 ;

Passo 1

O enunciado nos dá a hipérbole
x^2-y^24=1
e pede os pontos onde a reta tangente tem inclinação 4. O conteúdo principal aqui é derivação implícita para encontrar y' (a inclinação da tangente) e em seguida resolver as condições.

Passo 2

Vamos derivar implicitamente em relação a x:
ddxl(x^2r)-ddxl(y^24r)=ddx(1)
Isso dá
2x-14cdot 2y,y'=0
ou seja
2x-y,y'2=0Longrightarrow 4x-y,y'=0
Logo
y'=4xy

Passo 3

Queremos que a inclinação da tangente seja 4, isto é
y' = 4 Longrightarrow 4xy=4
Dessa equação segue
4x=4y Longrightarrow x=y

Passo 4

Substituindo y=x na equação da hipérbole temos
x^2-x^24=1 Longrightarrow 3x^24=1 Longrightarrow x^2=43
e portanto
x=pm2raiz3, y=x

Resposta

l(tfrac2raiz3,,tfrac2raiz3r) e l(-tfrac2raiz3,,-tfrac2raiz3r)

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