Exercício 3
Calcular I=integral duplaS x^2 z d S , onde S é a porção do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=4 éçãá

Passo 1

O enunciado pede calcular integral duplaS x^2z,dS, onde S é a parte do cone z^2=x^2+y^2 entre os planos z=1 e z=4. O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar, e vamos usar parametrização em coordenadas cilíndricas e a fórmula
integral duplaS f,dS = integral duplaD fl(X(u,v)r),llvert Xutimes Xvrrvert,du,dv

Passo 2

Parametrizamos S por
X(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;rr),
com rin[1,4] e thetain[0,2pi], pois no cone positivo temos z=r e x^2+y^2=r^2.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
Xr = (costheta,;sintheta,;1), Xtheta = (-rsintheta,;rcostheta,;0)
O módulo do produto vetorial é
llvert Xrtimes Xthetarrvert = rraiz2,
logo dS = rraiz2,dr,dtheta.

Passo 4

Em termos de (r,theta) temos x = rcostheta, z = r, então o integrando x^2z vira r^3cos^2theta. Assim
I = integral0^2pi!integral1^4 l(r^3cos^2thetar),(rraiz2),dr,dtheta = raiz2integral0^2picos^2theta,dtheta ;integral1^4r^4,dr

Passo 5

Calculamos a parte angular:
integral0^2picos^2theta,dtheta = pi

Passo 6

Calculamos a parte radial:
integral1^4r^4,dr = [tfracr^55]1^4 = 4^5-15 = 10235

Resposta

I = raiz2,pi,10235 = 1023raiz2,pi5

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