Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Verifique que a equação
(1+e^x) y-(x+e^x) y^prime=0
admite um fator integrante dependendo só de y e também fator integrante dependendo só de x. Resolva a equação de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+e^x),y ;-;(x+e^x),y' ;=;0
e pede para mostrar que ela admite um fator integrante que dependa só de x e outro que dependa só de y, resolvendo-a de duas maneiras. Vamos escrever em forma diferencial exata
M(x,y),dx ;+;N(x,y),dy ;=;0
identificando
M(x,y)=(1+e^x),y, N(x,y)=-(x+e^x),
e em seguida buscar mu(x) e mu(y).

Passo 2

Para achar um fator integrante mu(x) basta ver que
partial M/partial y ;-;partial N/partial xN =(1+e^x)-l[-(1+e^x)r]-(x+e^x) =-2,1+e^xx+e^x
é função só de x. Logo
mu'(x)mu(x) =-2,1+e^xx+e^x,
e como
integral 1+e^xx+e^x,dx =lnl(x+e^xr),
temos
mu(x) =expl(-2ln(x+e^x)r) =(x+e^x)^-2

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=(x+e^x)^-2 obtemos
1+e^x(x+e^x)^2,y,dx ;-;1x+e^x,dy ;=;0,
que é exata, pois
partialpartial yl[tfrac1+e^x(x+e^x)^2,yr] =1+e^x(x+e^x)^2 ;=; partialpartial xl[-tfrac1x+e^xr]
Assim existe F(x,y) tal que
Fx=1+e^x(x+e^x)^2,y, Fy=-1x+e^x
Integrando Fx em x
F(x,y) =-yx+e^x+h(y),
e impondo Fy=-1/(x+e^x) conclui-se h'(y)=0. Logo a solução implícita é
-yx+e^x=C Longrightarrow y=C1,(x+e^x)

Passo 4

Agora buscamos um fator integrante mu(y). Note-se que
partial N/partial x ;-;partial M/partial yM =-(1+e^x)-(1+e^x)(1+e^x),y =-2y
depende só de y. Assim
mu'(y)mu(y)=-2y Longrightarrow mu(y)=y^-2

Passo 5

Multiplicando por mu(y)=y^-2 vem
1+e^xy,dx ;-;x+e^xy^2,dy ;=;0,
que é exata porque
partialpartial yl[tfrac1+e^xyr] =-1+e^xy^2 ;=; partialpartial xl[-tfracx+e^xy^2r]
Integramos
Fx=1+e^xy Longrightarrow F(x,y)=x+e^xy+k(y),
e impondo Fy=-(x+e^x)/y^2 k'(y)=0. A solução implícita é
x+e^xy=C Longrightarrow y=widetilde C,(x+e^x)

Resposta

Em ambas as abordagens a solução geral é
y=K,(x+e^x), KinR

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