Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de
e também fator integrante dependendo só de
. Resolva a equação de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.
Verifique que a equação
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela admite um fator integrante que dependa só de
e outro que dependa só de
, resolvendo-a de duas maneiras. Vamos escrever em forma diferencial exata
identificando
e em seguida buscar
e
.
Passo 2
Para achar um fator integrante
basta ver que
é função só de
. Logo
e como
temos
Passo 3
Multiplicando a equação original por
obtemos
que é exata, pois
Assim existe
tal que
Integrando
em
dá
e impondo
conclui-se
. Logo a solução implícita é
Passo 4
Agora buscamos um fator integrante
. Note-se que
depende só de
. Assim
Passo 5
Multiplicando por
vem
que é exata porque
Integramos
e impondo
dá
. A solução implícita é
Resposta
Em ambas as abordagens a solução geral é