( O, 5 ponto) Mostre que se f: R Q é contínua então f é constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função fcolon RtoQ contínua é constante. O que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se f é contínua em um intervalo e y está entre f(a) e f(b), então existe c tal que f(c)=y. Também usaremos o fato de que qualquer intervalo não degenerado em R contém números irracionais.

Passo 2

Suponha, para fins de contradição, que existam a,binR tais que f(a)neq f(b). Sem perda de generalidade, digamos
f(a)<f(b)
Pelo TVI, a imagem de [a,b] sob f é o intervalo
[f(a),f(b)] subset R
Mas qualquer intervalo aberto ou fechado não degenerado em R contém irracionais. Assim, existe algum qin [f(a),f(b)] que é irracional. Novamente pelo TVI, existe cin[a,b] tal que
f(c)=q,
o que contraria a hipótese de que f(c) deve ser racional.

Passo 3

Como chegamos a uma contradição partindo de f(a)neq f(b), concluímos que necessariamente f(a)=f(b) para quaisquer a,binR. Logo, f assume sempre o mesmo valor, isto é, é constante.

Resposta

A função f é constante.

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