(
ponto) Mostre que se
é contínua então
é constante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda função
contínua é constante. O que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se
é contínua em um intervalo e
está entre
e
, então existe
tal que
. Também usaremos o fato de que qualquer intervalo não degenerado em
contém números irracionais.
Passo 2
Suponha, para fins de contradição, que existam
tais que
. Sem perda de generalidade, digamos
Pelo TVI, a imagem de
sob
é o intervalo
Mas qualquer intervalo aberto ou fechado não degenerado em
contém irracionais. Assim, existe algum
que é irracional. Novamente pelo TVI, existe
tal que
o que contraria a hipótese de que
deve ser racional.
Passo 3
Como chegamos a uma contradição partindo de
, concluímos que necessariamente
para quaisquer
. Logo,
assume sempre o mesmo valor, isto é, é constante.
Resposta
A função
é constante.