Esboce as curvas
e
no mesmo sistema de eixos. Comente sobre suas diferenças geométricas.
Esboce as curvas
e
no mesmo sistema de eixos. Comente sobre suas diferenças geométricas.
Esboce as curvas
Passo 1
O enunciado pede para esboçar, no mesmo sistema de eixos em
, as curvas
e
comentando depois suas diferenças geométricas. O conteúdo é parametrização de curvas em três dimensões e veremos como interpretar componente a componente.
Passo 2
Analisando
:
- As componentes
e descrevem um círculo de raio 1 no plano . - A componente
mantém toda a curva contida no plano horizontal .
Logo,é justamente o círculo unitário no plano , uma curva fechada e plana.
Passo 3
Analisando
:
- As projeções em
e são as mesmas de , isto é, um círculo unitário em cada plano horizontal. - A componente
faz com que à medida que cresce a curva “suba” no eixo .
Assim,é uma hélice: um círculo girando em torno do eixo que simultaneamente avança em . É uma curva aberta e não retorna ao ponto de partida.
Passo 4
Comparando geometricamente:
-
é uma curva fechada, contida num único plano , sem avanço vertical. -
é uma hélice em torno do eixo : projeta-se no mesmo círculo, mas não fecha porque cresce linearmente em .
Resposta
A curva
é o círculo unitário no plano
, enquanto
é uma hélice de raio 1 que sobe ao longo de
.