Esboce as curvas
e
no mesmo sistema de eixos. Comente sobre suas diferenças geométricas.
Esboce as curvas \vec{r}_{1}(t)=(\cos t, \sin t, 0) e \vec{r}_{2}(t)=(\cos t, \sin t, t) no mesmo sistema de eixos. Comente sobre suas diferenças geométricas.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar, no mesmo sistema de eixos em \mathbb{R}^3, as curvas
\vec{r}_{1}(t) = (\cos t,\;\sin t,\;0)
e
\vec{r}_{2}(t) = (\cos t,\;\sin t,\;t),
comentando depois suas diferenças geométricas. O conteúdo é parametrização de curvas em três dimensões e veremos como interpretar componente a componente.

Passo 2

Analisando \vec r_{1}(t):
  • As componentes x=\cos t e y=\sin t descrevem um círculo de raio 1 no plano xy.
  • A componente z=0 mantém toda a curva contida no plano horizontal z=0.
    Logo, \vec r_{1}(t) é justamente o círculo unitário no plano xy, uma curva fechada e plana.

Passo 3

Analisando \vec r_{2}(t):
  • As projeções em x e y são as mesmas de \vec r_{1}, isto é, um círculo unitário em cada plano horizontal.
  • A componente z=t faz com que à medida que t cresce a curva “suba” no eixo z.
    Assim, \vec r_{2}(t) é uma hélice: um círculo girando em torno do eixo z que simultaneamente avança em z. É uma curva aberta e não retorna ao ponto de partida.

Passo 4

Comparando geometricamente:
  • \vec r_{1} é uma curva fechada, contida num único plano z=0, sem avanço vertical.
  • \vec r_{2} é uma hélice em torno do eixo z: projeta-se no mesmo círculo, mas não fecha porque cresce z linearmente em t.

Resposta

A curva \vec r_{1} é o círculo unitário no plano z=0, enquanto \vec r_{2} é uma hélice de raio 1 que sobe ao longo de z.

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