Calcule a posição r(t) e a aceleração a(t) de uma partícula sabendo que sua locidade é v(t)=(sen t, sen^2 t, cos ^2 t), com posição inicial r(0)=(16,12,2024).

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor velocidade v(t)=(sin t,,sin^2 t,,cos^2 t) e a posição inicial r(0)=(16,12,2024). O objetivo é encontrar o vetor posição r(t) e o vetor aceleração a(t). Para isso, vamos usar:
  1. A relação de posição como antiderivada da velocidade:
r(t)=r(0)+integral0^tv(s),ds
2) A definição de aceleração como derivada da velocidade:
a(t)=v'(t)

Passo 2

Para calcular r(t), aplicamos a fórmula de baixo:
r(t)=r(0)+integral0^tv(s),ds
Integrando componente a componente e usando identidades trigonométricas para sin^2 s e cos^2 s:
$$
r1(t)&=16+integral0^tsin s,ds=16+[-cos s]0^t=16+(-cos t+1)=17-cos t, r2(t)&=12+integral0^tsin^2 s,ds=12+integral0^t1-cos2s2,ds=12+l[s2-sin2s4r]0^t=12+t2-sin2t4, r3(t)&=2024+integral0^tcos^2 s,ds=2024+integral0^t1+cos2s2,ds=2024+l[s2+sin2s4r]0^t=2024+t2+sin2t4
$$

Passo 3

Agora obtemos a(t) derivando cada componente de v(t):
a1(t)&=ddt(sin t)=cos t, a2(t)&=ddt(sin^2 t)=2sin tcos t=sin2t, a3(t)&=ddt(cos^2 t)=2cos t(-sin t)=-sin2t

Resposta

r(t)=l(17-cos t,;12+tfract2-tfracsin2t4,;2024+tfract2+tfracsin2t4r), a(t)=l(cos t,;sin2t,;-sin2tr)

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