Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(h) h(t, x)=t-x^2t^2+3 x.

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de h(t,x)=t - x^2t^2 + 3x. O assunto é derivada parcial e usaremos a regra do quociente para funções de duas variáveis: se h=ND, então hu=Nu D - N DuD^2.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
N(t,x)=t - x^2, D(t,x)=t^2+3x
Calculamos ht pela regra do quociente:
$$
\frac{\partial h}{\partial t}=\frac{N_t,D - N,D_t}{D^2}
=\frac{1,(t^2+3x)-(t - x2),2t}{(t2+3x)^2}
=\frac{-t^2 +2t x2+3x}{(t2+3x)^2}.
$$

Passo 3

Agora hx também pela regra do quociente:
partial hpartial x=Nx,D - N,DxD^2 =(-2x),(t^2+3x)-(t - x^2),3(t^2+3x)^2 =-2x t^2 -6x^2 -3t +3x^2(t^2+3x)^2 =-2x t^2 -3x^2 -3t(t^2+3x)^2

Passo 4

Para htt=partialpartial t(ht), vemos A(t,x)=-t^2+2t x^2+3x e ainda B(t,x)=(t^2+3x)^2. Então
partial^2 hpartial t^2=At,B - A,BtB^2 =(2x^2-2t)(t^2+3x)^2 -(-t^2+2t x^2+3x),4t(t^2+3x)(t^2+3x)^4

Passo 5

Para htx=partialpartial x(ht), usamos a mesma ideia com A(t,x) e B(t,x):
partial^2 hpartial x partial t =Ax,B - A,BxB^2 =(4t x+3)(t^2+3x)^2 -(-t^2+2t x^2+3x),6(t^2+3x)(t^2+3x)^4

Passo 6

Para hxx=partialpartial x(hx), definimos C(t,x)=-2x t^2 -3x^2 -3t e o mesmo B(t,x). Então
partial^2 hpartial x^2 =Cx,B - C,BxB^2 =(-2t^2-6x)(t^2+3x)^2 -(-2x t^2 -3x^2 -3t),6(t^2+3x)(t^2+3x)^4

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
htt=(2x^2-2t)(t^2+3x)^2 -(-t^2+2t x^2+3x),4t(t^2+3x)(t^2+3x)^4,
htx=hxt=(4t x+3)(t^2+3x)^2 -(-t^2+2t x^2+3x),6(t^2+3x)(t^2+3x)^4,
hxx=(-2t^2-6x)(t^2+3x)^2 -(-2x t^2 -3x^2 -3t),6(t^2+3x)(t^2+3x)^4

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