Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(h)
.
(h)
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem de
. O assunto é derivada parcial e usaremos a regra do quociente para funções de duas variáveis: se
, então
.
Passo 2
Definimos as funções auxiliares
Calculamos
$$
\frac{\partial h}{\partial t}=\frac{N_t,D - N,D_t}{D^2}
=\frac{1,(t^2+3x)-(t - x2),2t}{(t2+3x)^2}
=\frac{-t^2 +2t x2+3x}{(t2+3x)^2}.
=\frac{1,(t^2+3x)-(t - x2),2t}{(t2+3x)^2}
=\frac{-t^2 +2t x2+3x}{(t2+3x)^2}.
$$
Passo 3
Agora
também pela regra do quociente:
Passo 4
Para
, vemos
e ainda
. Então
Passo 5
Para
, usamos a mesma ideia com
e
:
Passo 6
Para
, definimos
e o mesmo
. Então
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: