Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=e^{xy}–y x^{4} cos x; o conteúdo envolve regra do produto e regra da cadeia para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, calculo ∂f/∂x aplicando regra da cadeia em e^{xy} e produto em y x^{4} cos x. Temos
que simplifica para
Passo 3
Em seguida, calculo ∂f/∂y derivando f em y:
Passo 4
Agora obtenho f_{xx} = ∂/∂x de f_x. Aplicando produto e cadeia:
Fazendo cada parte: y{2}e{xy}, depois -4y(3x^{2}\cos x - x^{3}\sin x) e por fim y(x^{4}\cos x+4x^{3}\sin x). Assim
Passo 5
Para f_{xy}, derivo f_x em y:
Isso dá e^{xy}+xy e{xy}-4x{3}\cos x + x^{4}\sin x, ou seja
Passo 6
Para f_{yy}, derivo f_y em y:
Passo 7
Pela igualdade das mistas (teorema de Schwarz), f_{yx}=f_{xy}.