Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função:
(f) f(x, y)=e^x y-y x^4 cos x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=e^{xy}–y x^{4} cos x; o conteúdo envolve regra do produto e regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculo ∂f/∂x aplicando regra da cadeia em e^{xy} e produto em y x^{4} cos x. Temos
fx=partialpartial xl(e^xyr)-partialpartial xl(y x^4cos xr) = y e^xy-yl(4x^3cos x - x^4sin xr)
que simplifica para
fx= y e^xy -4y x^3cos x +y x^4sin x

Passo 3

Em seguida, calculo ∂f/∂y derivando f em y:
fy=partialpartial yl(e^xyr)-partialpartial yl(y x^4cos xr) = x e^xy - x^4cos x

Passo 4

Agora obtenho f_{xx} = ∂/∂x de f_x. Aplicando produto e cadeia:
fxx=partialpartial xl(y e^xyr)-partialpartial xl(4y x^3cos xr)+partialpartial xl(y x^4sin xr)
Fazendo cada parte: y{2}e{xy}, depois -4y(3x^{2}\cos x - x^{3}\sin x) e por fim y(x^{4}\cos x+4x^{3}\sin x). Assim
fxx=y^2e^xy+8y x^3sin x -12y x^2cos x + y x^4cos x

Passo 5

Para f_{xy}, derivo f_x em y:
fxy=partialpartial yl(y e^xyr)-partialpartial yl(4y x^3cos xr)+partialpartial yl(y x^4sin xr)
Isso dá e^{xy}+xy e{xy}-4x{3}\cos x + x^{4}\sin x, ou seja
fxy=e^xy(1+xy)-4x^3cos x + x^4sin x

Passo 6

Para f_{yy}, derivo f_y em y:
fyy=partialpartial yl(x e^xyr)-0 = x^2e^xy

Passo 7

Pela igualdade das mistas (teorema de Schwarz), f_{yx}=f_{xy}.

Resposta

fxx=y^2e^xy+8y x^3sin x -12y x^2cos x + y x^4cos x,
fxy=fyx=e^xy(1+xy)-4x^3cos x + x^4sin x,
fyy=x^2e^xy

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