Calcule a posição r(t) e a aceleração a(t) de uma partícula sabendo que sua velocidade é v(t)=(sen t, sen^2 t, cos ^2 t), com posição inicial r(0)=(16,12,2024).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a posição r(t) e a aceleração a(t) de uma partícula cuja velocidade é v(t) = (sen t,;sen^2 t,;cos^2 t) e que satisfaz r(0) = (16,12,2024). Para resolver, vamos usar que a posição é a primitiva da velocidade e que a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Para encontrar r(t), integramos cada componente de v(t) em relação a t, pois r'(t)=v(t).
rx(t)=integral sent,dt = -cos t + C1
ry(t)=integral sen^2 t,dt = integral 1-cos 2t2,dt = t2 - sin 2t4 + C2
rz(t)=integral cos^2 t,dt = integral 1+cos 2t2,dt = t2 + sin 2t4 + C3

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial r(0)=(16,12,2024):
  • $r_x(0)=-\cos0 + C_1 = -1 + C_1 = 16 $ → rx(0)=-cos0 + C1 = -1 + C1 = 16
  • C1=17 ry(0)=0 - 0 + C2 = 12
  • C2=12 rz(0)=0 + 0 + C3 = 2024

Passo 4

Substituindo C1, C2, C3 em cada componente, obtemos a posição final:
r(t)=l(-cos t + 17,; t2 - sin 2t4 + 12,; t2 + sin 2t4 + 2024r)

Passo 5

Para achar a aceleração, derivamos v(t) componente a componente, pois a(t)=v'(t):
ax(t)=ddt(sen t)=cos t,
ay(t)=ddt(sen^2 t)=2sentcos t=sin 2t,
az(t)=ddt(cos^2 t)=-2cos tsin t=-sin 2t

Resposta

A posição é r(t)=(-cos t +17,;tfrac t2 - tfracsin 2t4 +12,;tfrac t2 + tfracsin 2t4 +2024) e a aceleração é a(t)=(cos t,;sin 2t,;-sin 2t).

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