Use derivação implícita para encontrar partial z / partial x e partial z / partial y, sabendo que
e^y z+x ln y=z^2

Passo 1

Temos a equação e^y z + x ln y = z^2. O que precisamos é aplicar derivação implícita, usando regra da cadeia e, no segundo caso, também a regra do produto, para achar partial z/partial x e partial z/partial y.

Passo 2

Para achar partial z/partial x, derivamos ambos os lados em relação a x, tratando y como constante. Temos:
ddxl(e^y zr)=e^y zcdot ypartial zpartial x,
ddx(xln y)=ln y,
ddx(z^2)=2zpartial zpartial x
Reunindo tudo:
y e^y zpartial zpartial x+ln y=2zpartial zpartial x
Isolando partial z/partial x:
(y e^y z-2z)partial zpartial x=-ln y Rightarrow partial zpartial x=-ln yy e^y z-2z

Passo 3

Para achar partial z/partial y, derivamos em relação a y, tratando x como constante. Primeiro:
ddyl(e^y zr)=e^y zl(z+ypartial zpartial yr)
(porque d(yz)/dy=z+y,dz/dy),
ddy(xln y)=xy,
ddy(z^2)=2zpartial zpartial y
Juntando:
e^y zz+e^y zypartial zpartial y+xy=2zpartial zpartial y
Reagrupando termos com partial z/partial y:
(y e^y z-2z)partial zpartial y=-l(z e^y z+xyr) Rightarrow partial zpartial y=-z e^y z+xyy e^y z-2z

Resposta

partial zpartial x=-ln yy e^y z-2z
partial zpartial y=-z e^y z+xyy e^y z-2z

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