Encontrar F(t) da equação integral
F(t)=e^-t-2 integral0^t F(beta) cos (t-beta) d beta
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação integral pra resolver aqui:
F(t) = e^-t - 2 integral0^t F(beta) cos (t - beta) , dbeta
Isso envolve conceitos de cálculo integral e equações integrais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações integrais, como transformar essa equação em uma equação diferencial usando derivadas. Então, vamos juntos passo a passo descobrir o que é o $ F(t) $!

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a vida diferenciando os dois lados da equação em relação a $ t $. Isso porque derivar pode transformar nossa equação integral em uma equação diferencial mais simples. Lembre-se que a derivada de uma integral que vai de uma função variável $ t $ pode ser tratada usando o teorema fundamental do cálculo.
Então, vamos derivar ambos os lados:
t

Passo 3

Vamos calcular cada derivada separadamente. A derivada de $ e^{-t} $ é direta:
e^-t
Agora, para a derivada da integral, usamos a regra de Leibniz para derivadas de integrais que têm limites variáveis:
ddt e^-t = -e^-t
Sabendo que $ \cos(0) = 1 $ e $ \frac{d}{dt} \cos(t - \beta) = -\sin(t - \beta) $, temos:
ddt integral0^t F(beta) cos (t - beta) , dbeta = F(t) cdot cos(0) + integral0^t F(beta) cdot ddt cos(t - beta) , dbeta

Passo 4

Substituindo as derivadas de volta na equação, temos:
ddt F(t) = -e^-t - 2 [ F(t) - integral0^t F(beta) sin(t - beta) , dbeta ]
Simplificando:
dFdt = -e^-t - 2F(t) + 2 integral0^t F(beta) sin(t - beta) , dbeta
Agora, precisamos lidar com essa nova integral que envolve $ \sin(t - \beta) $.

Passo 5

Observamos que agora temos uma equação que ainda contém uma integral envolvendo $ F(\beta) $. Para simplificar, vamos supor que $ F(t) $ pode ser expressa como uma combinação de funções que desaparecem ou se simplificam ao integrar. Uma abordagem comum é assumir uma solução exponencial ou trigonométrica e verificar.
Vamos tentar assumir que $ F(t) = A e^{-kt} $ e encontrar os valores de $ A $ e $ k $ que satisfazem a equação original. Substituímos na equação inicial:
F(beta)

Passo 6

Calculamos a integral:
2A integral0^t e^-kbeta cos(t - beta) , dbeta
Fazendo uma mudança de variável $ \theta = t - \beta $, então $ d\theta = -d\beta $ e os limites de integração mudam de $ \beta = 0 $ para $ \theta = t $ e $ \beta = t $ para $ \theta = 0 $. A integral fica:
theta = t - beta
Essa integral envolve funções exponenciais e trigonométricas, cujo resultado é conhecido:
dtheta = -dbeta
Aplicando com $ a = k $ e $ b = 1 $:
beta = 0
Calculando os limites:
theta = t

Passo 7

Substituindo de volta na equação original:
A e^-kt = e^-t - 2A e^-kt cdot k (cos t - 1) + sin tk^2 + 1
Para essa igualdade ser válida para todo $ t $, os coeficientes de $ e^{-kt} $ e $ e^{-t} $ devem ser iguais. Isso sugere que $ k = 1 $.
Então, assumindo $ k = 1 $, temos:
t
Simplificando:
e^-kt
Para que isso seja válido para todo $ t $, precisamos que os termos com $ \cos t $ e $ \sin t $ se anulem, o que ocorre quando $ A = 1 $.

Resposta

Portanto, a solução da equação integral é:
F(t) = e^-t

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