Mostre que é contínua, para todo . [Sugestão: mostre e use a identidade
Passo 1
Temos a função dada por e queremos mostrar que ela é contínua em todo . Para isso, usaremos a definição de continuidade e a identidade trigonométrica sugerida.
Passo 2
Pela definição, é contínua em se, para todo , existe tal que, sempre que , teremos .
Passo 3
Usando a identidade sugerida, temos
Tomando valor absoluto, fica
Passo 4
Sabendo que para todo u vale |sin u|<=|u| e que |sin u|<=1, obtemos
|cos x-cos x0|<=2cdot1cdotl|x-x02r|=|x-x0|
Passo 5
Agora basta escolher de. De fato, se |x-x0|, então
|cos x-cos x0|<=|x-x0|
o que satisfaz a definição de continuidade.
Passo 6
Portanto, para todo x0inR e todo varepsilon>0 encontramos de que garante |cos x-cos x0| sempre que |x-x0|. Isso prova que f(x)=cos x é contínua em todo R.