Mostre que f(x)=cos x é contínua, para todo x in R. [Sugestão: mostre e use a identidade cos x-cos x0=-2 sin (x+x02) sin (x-x02)]

Passo 1

Temos a função f:RtoR dada por f(x)=cos x e queremos mostrar que ela é contínua em todo x0inR. Para isso, usaremos a definição de continuidade e a identidade trigonométrica sugerida.

Passo 2

Pela definição, f é contínua em x0 se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que, sempre que |x-x0|, teremos |cos x-cos x0|.

Passo 3

Usando a identidade sugerida, temos
cos x-cos x0=-2,sinl(x+x02r),sinl(x-x02r)
Tomando valor absoluto, fica
|cos x-cos x0|=2,l|sinl(tfracx+x02r)r|,l|sinl(tfracx-x02r)r|

Passo 4

Sabendo que para todo u vale |sin u|<=|u| e que |sin u|<=1, obtemos
|cos x-cos x0|<=2cdot1cdotl|x-x02r|=|x-x0|

Passo 5

Agora basta escolher de. De fato, se |x-x0|, então
|cos x-cos x0|<=|x-x0|
o que satisfaz a definição de continuidade.

Passo 6

Portanto, para todo x0inR e todo varepsilon>0 encontramos de que garante |cos x-cos x0| sempre que |x-x0|. Isso prova que f(x)=cos x é contínua em todo R.

Resposta

A função f(x)=cos x é contínua para todo xinR.

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