Calcule a posição do centro de massa de uma barra fina e homogênea de massa Me comprimento L.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a posição do centro de massa de uma barra fina e homogênea, de massa M e comprimento L. Vamos usar o conceito de corpo contínuo unidimensional, definindo uma densidade linear de massa e aplicando a fórmula de centro de massa.

Passo 2

Como a barra é homogênea, sua densidade linear \lambda (massa por comprimento) é constante e dada por
\lambda = \frac{M}{L}.

Passo 3

A posição do centro de massa x_{\text{cm}} de um corpo unidimensional alinhado ao eixo x de x=0 até x=L é
x_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x\,\mathrm{d}m.

Passo 4

Expressamos o elemento de massa \mathrm{d}m em função de \mathrm{d}x:
\mathrm{d}m = \lambda\,\mathrm{d}x = \frac{M}{L}\,\mathrm{d}x.
Substituindo em x_{\text{cm}} temos
x_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x \,\biggl(\frac{M}{L}\,\mathrm{d}x\biggr) = \frac{1}{M}\,\frac{M}{L} \int_{0}^{L} x\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{L} x\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L} = \frac{L^{2}}{2}.
Logo,
x_{\text{cm}} = \frac{1}{M}\,\frac{M}{L}\,\frac{L^{2}}{2} = \frac{L}{2}.

Resposta

A posição do centro de massa da barra é \displaystyle \frac{L}{2} em relação à extremidade x=0.

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