Em uma região do espaço existe uma distribuição volumétrica de carga elétrica de densidade constante \rho_{0}. Mostre que \nabla \times \vec{E}=0. O campo elétrico é definido pela relação:
\vec{E}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \rho_{0} d V \frac{(\vec{r}-\vec{r})}{|\vec{r}-\vec{r}|^{3}}

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico estático gerado por uma distribuição volumétrica de carga de densidade constante \rho_{0}. Precisamos mostrar que esse campo é irrotacional, isto é,
\nabla \times \vec{E} \;=\; \vec{0}.
O que vamos usar é cálculo vetorial: permutação do operador \nabla\times com a integral e a identidade
\nabla\times\bigl(\nabla\psi\bigr)=\vec{0}.

Passo 2

Escrevendo o ponto de campo como \vec r e o ponto de fonte como \vec r', temos
\vec{E}(\vec r) =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int \rho_{0}\,dV'\;\frac{\vec r-\vec r'}{\bigl|\vec r-\vec r'\bigr|^{3}}.
Como \rho_{0} é constante, podemos trocar o operador rotacional com a própria integral:
\nabla\times\vec{E} =\frac{\rho_{0}}{4\pi\epsilon_{0}}\int dV'\;\nabla\times\!\Bigl(\frac{\vec r-\vec r'}{\lvert\vec r-\vec r'\rvert^{3}}\Bigr).

Passo 3

Mostramos agora que, para cada posição fixa de fonte \vec r', vale
\nabla\times\!\Bigl(\frac{\vec r-\vec r'}{\lvert\vec r-\vec r'\rvert^{3}}\Bigr) =\vec{0},
desde que \vec r\neq\vec r'. De fato, note que
\frac{\vec r-\vec r'}{\lvert\vec r-\vec r'\rvert^{3}} =-\,\nabla\!\Bigl(\frac{1}{\lvert\vec r-\vec r'\rvert}\Bigr),
pois o gradiente de 1/|\vec r-\vec r'| em relação a \vec r produz exatamente -(\vec r-\vec r')/|\vec r-\vec r'|^{3}. Como o rotacional de um gradiente é sempre zero,
\nabla\times\bigl(\nabla\psi\bigr)=\vec{0},
concluímos que cada integrando tem curl nulo.

Passo 4

Voltando à integral, como o rotacional do integrando é identicamente zero em toda a região de integração (fora do ponto singular \vec r=\vec r', que não contribui para a integral de volume), temos
\nabla\times\vec{E} =\frac{\rho_{0}}{4\pi\epsilon_{0}}\int dV'\;\vec{0} =\vec{0}.

Resposta

\nabla \times \vec{E} = \vec{0}.

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