Em uma região do espaço existe uma distribuição volumétrica de carga elétrica de densidade constante \rho_{0}. Mostre que \nabla \times \vec{E}=0. O campo elétrico é definido pela relação:
\vec{E}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \rho_{0} d V \frac{(\vec{r}-\vec{r})}{|\vec{r}-\vec{r}|^{3}}
Passo 1
O enunciado dá um campo elétrico estático gerado por uma distribuição volumétrica de carga de densidade constante \rho_{0}. Precisamos mostrar que esse campo é irrotacional, isto é,
\nabla \times \vec{E} \;=\; \vec{0}.
O que vamos usar é cálculo vetorial: permutação do operador \nabla\times com a integral e a identidade
\nabla\times\bigl(\nabla\psi\bigr)=\vec{0}.
Passo 2
Escrevendo o ponto de campo como \vec r e o ponto de fonte como \vec r', temos
pois o gradiente de 1/|\vec r-\vec r'| em relação a \vec r produz exatamente -(\vec r-\vec r')/|\vec r-\vec r'|^{3}. Como o rotacional de um gradiente é sempre zero,
\nabla\times\bigl(\nabla\psi\bigr)=\vec{0},
concluímos que cada integrando tem curl nulo.
Passo 4
Voltando à integral, como o rotacional do integrando é identicamente zero em toda a região de integração (fora do ponto singular \vec r=\vec r', que não contribui para a integral de volume), temos