(2,0 pontos) Um coelho corre por uin jardim de forma que as componentes x e y de seu deslocamento como função dos tempos são dadas por x(t)=-0,45 t^{2}-6.5 t+25 e y(t)=0,35 t^{2}+8,3 t+34. (Tanto x quanto y estäo em metros e t está em segundos)
(a) Calcule a posição do coelho (módulo e orientação) em t=10 \mathrm{~s}.
(b) Calcule a velocidade do coelho em t=10 \mathrm{~s}.
(c) Determine o vetor aceleração em t=10 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado trata de cinemática vetorial: temos as componentes da posição do coelho em função do tempo,
x(t)=-0,45\,t^{2}-6,5\,t+25,
y(t)=0,35\,t^{2}+8,3\,t+34,
e pede (a) posição em t=10 s (módulo e orientação), (b) velocidade em t=10 s e (c) vetor aceleração em t=10 s. Vamos usar derivadas para obter velocidade e aceleração, e trigonometria para a orientação.

Passo 2

Calcular a posição em t=10 s avaliando x(10) e y(10):
x(10)=-0,45\cdot10^{2}-6,5\cdot10+25=-45-65+25=-85\\ (\text{m}),
y(10)=0,35\cdot10^{2}+8,3\cdot10+34=35+83+34=152\\ (\text{m}).
O vetor posição é \vec r(10)=\langle -85,\,152\rangle.
O módulo é
|\vec r(10)|=\sqrt{(-85)^{2}+152^{2}}=\sqrt{7225+23104}\approx174{,}1\\ \text{m}.
A orientação \theta relativa ao eixo x é
\theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{152}{-85}\bigr)+180^\circ\approx-60{,}8^\circ+180^\circ=119{,}2^\circ.

Passo 3

Obter a velocidade derivando as componentes de \vec r(t):
v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=-0{,}9\,t-6{,}5,
v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=0{,}7\,t+8{,}3.
Em t=10 s:
v_{x}(10)=-0{,}9\cdot10-6{,}5=-9-6{,}5=-15{,}5\\ \text{m/s},
v_{y}(10)=0{,}7\cdot10+8{,}3=7+8{,}3=15{,}3\\ \text{m/s}.
Logo \vec v(10)=\langle -15{,}5,\,15{,}3\rangle m/s.

Passo 4

Obter a aceleração derivando as componentes de \vec v(t):
a_{x}(t)=\frac{dv_{x}}{dt}=-0{,}9,
a_{y}(t)=\frac{dv_{y}}{dt}=0{,}7.
Como são constantes, em t=10 s temos \vec a(10)=\langle -0{,}9,\,0{,}7\rangle m/s².

Resposta

(a) \vec r(10)=\langle -85,\,152\rangle m,
\;|\vec r(10)|\approx174{,}1 m,
\;\theta\approx119{,}2^\circ.
(b) \vec v(10)=\langle -15{,}5,\,15{,}3\rangle m/s.
(c) \vec a(10)=\langle -0{,}9,\,0{,}7\rangle m/s².

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