Mostre que o vetor campo elétrico vec{E} de uma casca esférica de raio R e com carga superficial uniformemente distribuida e densidade constante \sigma_{0} é dada pela relação:
Considere z como a distância do centro da esfera ate o ponto onde se deve calcular o campo elétrico.
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico de uma casca esférica de raio R com densidade de carga superficial uniforme \sigma_{0}, medido num ponto sobre o eixo z a uma distância z do centro. Por simetria esférica, o campo é radial (aqui ao longo de \hat e_{z}) e depende só de |z|. Vamos usar a Lei de Gauss para determinar E em cada região |z|<R e |z|>R e depois unir tudo numa única expressão usando funções sinal (o que leva ao formato com valores absolutos).
Passo 2
Aplicando a Lei de Gauss em uma esfera de raio r=|z|:
Se |z|<R, a carga encerrada é zero, logo
E(r)=0\quad\Longrightarrow\quad \vec E=0\,.
Se |z|>R, toda carga da casca está dentro da superfície gaussiana. A carga total é
Como estamos no eixo z e r=|z|, a componente no sentido \hat e_{z} é
\vec E =\frac{\sigma_{0}R^{2}}{\epsilon_{0}\,z^{2}}\;\mathrm{sgn}(z)\;\hat e_{z} \quad(|z|>R),
e \vec E=0 se |z|<R.
Passo 3
Para unificar as duas regiões numa expressão única usamos a função sinal \mathrm{sgn}(x)=x/|x|\). Observe que
\[\mathrm{sgn}(z-R)=\begin{cases} +1,&z>R,\\\\ -1,&z<R, \end{cases} \quad \mathrm{sgn}(-z-R)=\begin{cases} +1,&z<-R,\\\\ -1,&z>-R. \end{cases}
que reproduz E=0\] dentro e \(E=\pm\sigma_{0}R^{2}/(\epsilon_{0}z^{2}) fora.
Passo 4
Escrevendo \mathrm{sgn}(x)=x/|x| e rearranjando a constante \sigma_{0}R^{2}/\epsilon_{0} em termos de (1/4\pi\epsilon_{0})(2\pi R^{2}\sigma_{0}), obtemos