Mostre que o vetor campo elétrico vec{E} de uma casca esférica de raio R e com carga superficial uniformemente distribuida e densidade constante \sigma_{0} é dada pela relação:
\vec{E}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{2 \pi R^{2} \sigma}{z^{2}}\left[\frac{(z-R)}{|z-R|}-\frac{(-z-R)}{|z+R|}\right] \hat{e}_{z}
Considere z como a distância do centro da esfera ate o ponto onde se deve calcular o campo elétrico.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico de uma casca esférica de raio R com densidade de carga superficial uniforme \sigma_{0}, medido num ponto sobre o eixo z a uma distância z do centro. Por simetria esférica, o campo é radial (aqui ao longo de \hat e_{z}) e depende só de |z|. Vamos usar a Lei de Gauss para determinar E em cada região |z|<R e |z|>R e depois unir tudo numa única expressão usando funções sinal (o que leva ao formato com valores absolutos).

Passo 2

Aplicando a Lei de Gauss em uma esfera de raio r=|z|:
  • Se |z|<R, a carga encerrada é zero, logo
E(r)=0\quad\Longrightarrow\quad \vec E=0\,.
  • Se |z|>R, toda carga da casca está dentro da superfície gaussiana. A carga total é
Q=\sigma_{0}\,4\pi R^{2},
e a Lei de Gauss dá
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{\sigma_{0}\,4\pi R^{2}}{4\pi\epsilon_{0}\,r^{2}} =\frac{\sigma_{0}R^{2}}{\epsilon_{0}\,r^{2}}.
Como estamos no eixo z e r=|z|, a componente no sentido \hat e_{z} é
\vec E =\frac{\sigma_{0}R^{2}}{\epsilon_{0}\,z^{2}}\;\mathrm{sgn}(z)\;\hat e_{z} \quad(|z|>R),
e \vec E=0 se |z|<R.

Passo 3

Para unificar as duas regiões numa expressão única usamos a função sinal \mathrm{sgn}(x)=x/|x|\). Observe que \[\mathrm{sgn}(z-R)=\begin{cases} +1,&z>R,\\\\ -1,&z<R, \end{cases} \quad \mathrm{sgn}(-z-R)=\begin{cases} +1,&z<-R,\\\\ -1,&z>-R. \end{cases}
Então podemos montar
\mathrm{sgn}(z-R)\;-\;\mathrm{sgn}(-z-R) =\begin{cases} 2,&z>R,\\\\ 0,&|z|<R,\\\\ -2,&z<-R, \end{cases}
que reproduz E=0\] dentro e \(E=\pm\sigma_{0}R^{2}/(\epsilon_{0}z^{2}) fora.

Passo 4

Escrevendo \mathrm{sgn}(x)=x/|x| e rearranjando a constante \sigma_{0}R^{2}/\epsilon_{0} em termos de (1/4\pi\epsilon_{0})(2\pi R^{2}\sigma_{0}), obtemos
\vec E =\frac{\sigma_{0}R^{2}}{\epsilon_{0}\,z^{2}}\;\frac{\mathrm{sgn}(z-R)-\mathrm{sgn}(-z-R)}{2}\;\hat e_{z} =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\, \frac{2\pi R^{2}\sigma_{0}}{z^{2}}\, \Bigl[\frac{z-R}{\lvert z-R\rvert}-\frac{-z-R}{\lvert z+R\rvert}\Bigr]\hat e_{z}.

Resposta

\boxed{ \vec{E} =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\, \frac{2\pi R^{2}\,\sigma_{0}}{z^{2}}\, \Bigl[\frac{(z-R)}{\lvert z-R\rvert} -\frac{(-z-R)}{\lvert z+R\rvert}\Bigr]\hat{e}_{z} }

Exercícios relacionados