Calcule a posição do centro de massa de: uma casca cônica.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que vamos usar:
Enunciado: “Calcular a posição do centro de massa de uma casca cônica (isto é, só a superfície lateral do cone), de altura e raio da base
, de massa total
.”
Matéria: centro de massa usando integração em superfícies.
O que precisamos:
Enunciado: “Calcular a posição do centro de massa de uma casca cônica (isto é, só a superfície lateral do cone), de altura
Matéria: centro de massa usando integração em superfícies.
O que precisamos:
- Escolher um sistema de coordenadas (vértice no eixo
, base em ). - Expressar um elemento de área lateral
em função de . - Definir a densidade superficial
. - Montar e resolver a integral de
.
Passo 2
Primeiro, parametra a casca cônica:
- Vértice no ponto
. - Eixo de simetria é o eixo
. - Base circular em
, raio . - Slant height (geratriz)
.
Como a casca é uniforme, a densidade superficial é
Agora, vamos tomar uma “faixa” (anel) a uma altura
, de espessura
.
Passo 3
Nesse anel:
- O raio dele é
(semelhância de triângulos). - A largura ao longo da superfície é
, com
. - O perímetro é
.
Logo a área desse anel é
E a massa desse anel é
Passo 4
Como o cone é simétrico em torno do eixo
, só precisamos da coordenada
:
Passo 5
Calculando a integral:
Resposta
O centro de massa da casca cônica fica sobre o eixo de simetria, a uma distância
medida a partir do vértice (ponto da ponta do cone).