Calcule a posição do centro de massa de: uma casca cônica.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que vamos usar:
Enunciado: “Calcular a posição do centro de massa de uma casca cônica (isto é, só a superfície lateral do cone), de altura e raio da base , de massa total .”
Matéria: centro de massa usando integração em superfícies.
O que precisamos:
  • Escolher um sistema de coordenadas (vértice no eixo , base em ).
  • Expressar um elemento de área lateral em função de .
  • Definir a densidade superficial .
  • Montar e resolver a integral de .

Passo 2

Primeiro, parametra a casca cônica:
  • Vértice no ponto sigma = Márea lateral = Mpi R,L .
  • Eixo de simetria é o eixo .
  • Base circular em , raio .
  • Slant height (geratriz) .
    Como a casca é uniforme, a densidade superficial é
á
Agora, vamos tomar uma “faixa” (anel) a uma altura , de espessura .

Passo 3

Nesse anel:
  • O raio dele é dA = l(2pi,r(z)r),ds = 2pi ,Rhz ;Lhdz = 2pi R,Lh^2;z,dz (semelhância de triângulos).
  • A largura ao longo da superfície é dM = sigma,dA = Mpi R,L;2pi R,Lh^2;z,dz = 2Mh^2;z,dz , com
    .
  • O perímetro é .
    Logo a área desse anel é
E a massa desse anel é

Passo 4

Como o cone é simétrico em torno do eixo zCM = 1Mintegral z,dM = 1Mintegral0^h z;l(2Mh^2z,dzr) = 2h^2integral0^h z^2,dz , só precisamos da coordenada :

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^h z^2,dz = h^33 Longrightarrow zCM = 2h^2cdoth^33 = 2h3

Resposta

O centro de massa da casca cônica fica sobre o eixo de simetria, a uma distância
boxedzCM = 2,h3
medida a partir do vértice (ponto da ponta do cone).

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