Encontre as coordenadas do CM de um aro fino semicircular de massa M e raio R, centrado na origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar as coordenadas do centro de massa (CM) de um aro fino em forma de semicírculo, de massa M e raio R, com o centro lá na origem do nosso sistema de coordenadas. O conteúdo aqui é “centro de massa de uma distribuição contínua” e vamos precisar de:
  1. A fórmula geral vec rCM=1Mintegral vec r,dm.
  2. Parametrizar o semicírculo usando o ângulo theta, já que é mais fácil integrar.
  3. Calcular a densidade linear e usar dm=lambda,ds.

Passo 2

Primeiro, a gente nota que o semicírculo vai de theta=0 a theta=pi e cada ponto tem coordenadas
x=Rcostheta, y=Rsintheta
O comprimento total do arco é L=pi R, então a densidade linear é
lambda=ML=Mpi R
E um pedacinho de arco ds corresponde a ds=R,dtheta, logo
dm=lambda,ds=Mpi R,R,dtheta=Mpi,dtheta

Passo 3

Agora vamos ao x do CM:
$$x_CM=\frac1M\int x,dm=\frac1M\int_{0}^{\pi}(R\cos\theta),\frac{M}{\pi},d\theta
=\frac{R}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos\theta,d\theta. xCM=1Mintegral x,dm=1Mintegral0^pi(Rcostheta),Mpi,dtheta =Rpiintegral0^picostheta,dthetaãáx_CM=0.$$

Passo 4

Agora o y do CM:
$$y_CM=\frac1M\int y,dm=\frac1M\int_{0}^{\pi}(R\sin\theta),\frac{M}{\pi},d\theta
=\frac{R}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta,d\theta. yCM=1Mintegral y,dm=1Mintegral0^pi(Rsintheta),Mpi,dtheta =Rpiintegral0^pisintheta,dthetay_CM=\frac{R}{\pi}\cdot 2=\frac{2R}{\pi}.$$

Resposta

As coordenadas do centro de massa do semicírculo são
l(xCM,,yCMr)=l(0,;2Rpir)

Exercícios relacionados