Calcule a posição da quinta linha da série de Paschen
do hidrogênio. Considerando que 700 nm é o comprimento de onda limite entre as regiões visível e infravermelho, determine também se a série fica inteiramente na região do infravermelho (a primeira linha aparece in infravermelho). ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a posição (comprimento de onda) da quinta linha da série de Paschen do hidrogénio, onde foi dado
. - Considerando que
é o limite visível / infravermelho, dizer se a série fica inteiramente no infravermelho (a questão já indica que a primeira linha aparece no infravermelho).
Informações relevantes fornecidas e inferíveis diretamente do enunciado:
-
(nível final da série de Paschen). - “Quinta linha” da série: devemos identificar qual nível inicial
corresponde a essa quinta transição. - Limite entre visível e infravermelho:
.
Não resolvemos nada neste passo; só organizamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Explicando a teoria necessária (passo a passo, sem pular etapas):
- A série de Paschen corresponde às transições eletrônicas em que o elétron cai para
a partir de níveis . Cada linha corresponde a uma transição . - A fórmula que dá o comprimento de onda
de uma transição no átomo de hidrogénio é a fórmula de Rydberg:
onde:
-
é o comprimento de onda em metros; -
é a constante de Rydberg para o hidrogénio, que vale aproximadamente ;\ -
é o nível final (aqui ); -
é o nível inicial (inteiro maior que ). - Observação sobre a numeração das linhas: a “primeira linha” da série de Paschen é a transição
. Em geral, a -ésima linha corresponde a . Vou usar isso para identificar o da quinta linha.
Passo 3
Identificar
para a quinta linha:
- Como a primeira linha tem
, a segunda , etc., a quinta linha tem
Portanto a quinta linha é a transição
.
Passo 4
Aplicar a fórmula de Rydberg substituindo
e
. Primeiro construímos a diferença de quadrados invertidos:
Calculando a diferença como uma única fração:
Logo,
Passo 5
Fazer as contas numéricas (explicando cada passo para poder fazer sem calculadora, com aproximações controladas):
- Usamos
. Então
- Assim
Dividindo:
Converter para nanómetros (
):
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
Passo 6
Determinar se a série fica inteiramente no infravermelho:
- O menor comprimento de onda (o limite da série, correspondente a
) é dado por
logo
- Calculando numericamente:
- Interpretação:
é o menor comprimento de onda da série (mais energético); todas as outras linhas têm comprimentos de onda maiores que esse. Como e , todo o conjunto de linhas da série de Paschen está em comprimentos de onda maiores que , ou seja, inteiramente na região do infravermelho. - Como verificação rápida, a primeira linha (
) tem
que é bem no infravermelho.
Resposta
Sim — a série de Paschen fica inteiramente na região do infravermelho (o limite da série é