Calcule a posição da quinta linha da série de Paschen \left(n_{1}=3\right) do hidrogênio. Considerando que 700 nm é o comprimento de onda limite entre as regiões visível e infravermelho, determine também se a série fica inteiramente na região do infravermelho (a primeira linha aparece in infravermelho). ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a posição (comprimento de onda) da quinta linha da série de Paschen do hidrogénio, onde foi dado \,n_{1}=3.
  2. Considerando que 700\\ \text{nm} é o limite visível / infravermelho, dizer se a série fica inteiramente no infravermelho (a questão já indica que a primeira linha aparece no infravermelho).
    Informações relevantes fornecidas e inferíveis diretamente do enunciado:
  • n_{1}=3 (nível final da série de Paschen).
  • “Quinta linha” da série: devemos identificar qual nível inicial n_{2} corresponde a essa quinta transição.
  • Limite entre visível e infravermelho: 700\\ \text{nm}.
    Não resolvemos nada neste passo; só organizamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Explicando a teoria necessária (passo a passo, sem pular etapas):
  • A série de Paschen corresponde às transições eletrônicas em que o elétron cai para n_{1}=3 a partir de níveis n_{2}=4,5,6,\dots. Cada linha corresponde a uma transição n_{2}\to n_{1}.
  • A fórmula que dá o comprimento de onda \lambda de uma transição no átomo de hidrogénio é a fórmula de Rydberg:
\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}}\right),
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda em metros;
  • R é a constante de Rydberg para o hidrogénio, que vale aproximadamente \;R=1{,}097373156\times10^{7}\\ \text{m}^{-1};\
  • n_{1} é o nível final (aqui 3);
  • n_{2} é o nível inicial (inteiro maior que n_{1}).
  • Observação sobre a numeração das linhas: a “primeira linha” da série de Paschen é a transição n_{2}=4\to n_{1}=3. Em geral, a k-ésima linha corresponde a n_{2}=n_{1}+k. Vou usar isso para identificar o n_{2} da quinta linha.

Passo 3

Identificar n_{2} para a quinta linha:
  • Como a primeira linha tem n_{2}=4, a segunda n_{2}=5, etc., a quinta linha tem
n_{2} = n_{1} + 5 = 3 + 5 = 8.
Portanto a quinta linha é a transição n_{2}=8 \to n_{1}=3.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Rydberg substituindo n_{1}=3 e n_{2}=8. Primeiro construímos a diferença de quadrados invertidos:
\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} = \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{8^{2}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{64}.
Calculando a diferença como uma única fração:
\frac{1}{9} - \frac{1}{64} = \frac{64-9}{576} = \frac{55}{576}.
Logo,
\frac{1}{\lambda} = R\cdot\frac{55}{576} \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{576}{55\,R}.

Passo 5

Fazer as contas numéricas (explicando cada passo para poder fazer sem calculadora, com aproximações controladas):
  • Usamos R\approx 1{,}097373156\times10^{7}\\ \text{m}^{-1}. Então
55\,R \approx 55 \times 1{,}097373156\times10^{7} = 6{,}03555236\times10^{8}\\ \text{m}^{-1}.
  • Assim
\lambda \approx \frac{576}{6{,}03555236\times10^{8}}\\ \text{m}.
Dividindo:
\lambda \approx 9{,}543986\times10^{-7}\\ \text{m}.
Converter para nanómetros ( 1\\ \text{m}=10^{9}\\ \text{nm}):
\lambda \approx 9{,}543986\times10^{-7}\times10^{9}\\ \text{nm} = 954{,}3986\\ \text{nm}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
\lambda_{5}\approx 954{,}4\\ \text{nm}.

Passo 6

Determinar se a série fica inteiramente no infravermelho:
  • O menor comprimento de onda (o limite da série, correspondente a n_{2}\to\infty) é dado por
\frac{1}{\lambda_{\infty}} = R\left(\frac{1}{n_{1}^{2}} - 0\right) = \frac{R}{n_{1}^{2}} = \frac{R}{9},
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\lambda_{\infty} = \frac{9}{R}.
  • Calculando numericamente:
\lambda_{\infty} \approx \frac{9}{1{,}097373156\times10^{7}}\\ \text{m} \approx 8{,}206\times10^{-7}\\ \text{m} = 820{,}6\\ \text{nm}.
  • Interpretação: \lambda_{\infty} é o menor comprimento de onda da série (mais energético); todas as outras linhas têm comprimentos de onda maiores que esse. Como \lambda_{\infty}\approx 820{,}6\\ \text{nm} e 820{,}6\\ \text{nm} > 700\\ \text{nm}, todo o conjunto de linhas da série de Paschen está em comprimentos de onda maiores que 700\\ \text{nm}, ou seja, inteiramente na região do infravermelho.
  • Como verificação rápida, a primeira linha ( n_{2}=4\to3) tem
\frac{1}{\lambda_{1}} = R\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{16}\right)=R\cdot\frac{7}{144}\quad\Rightarrow\quad \lambda_{1}\approx 1875\\ \text{nm},
que é bem no infravermelho.

Resposta

\lambda_{5}\approx 954{,}4\\ \text{nm}
Sim — a série de Paschen fica inteiramente na região do infravermelho (o limite da série é \lambda_{\infty}\approx 820{,}6\\ \text{nm}>700\\ \text{nm}, e a primeira linha está em \sim1875\\ \text{nm}).

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