Use a regra do ponto Médio e os dados a seguir para estimar o valor da integral \int_{1}^{5} f(x) d x :
x f(x) x f(x)
1,0 2,4 3,5 4,0
1,5 2,9 4,0 4,1
2,0 3,3 4,5 4,0
2,5 3,6 5,0 3,5
3,0 3,8

Passo 1

O que o problema pede: estimar o valor da integral \displaystyle \int_{1}^{5} f(x)\,dx usando a regra do ponto médio.
Informações dadas (peguei os valores na tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} x & f(x)\\hline 1{,}0 & 2{,}4\\\\ 1{,}5 & 2{,}9\\\\ 2{,}0 & 3{,}3\\\\ 2{,}5 & 3{,}6\\\\ 3{,}0 & 3{,}8\\\\ 3{,}5 & 4{,}0\\\\ 4{,}0 & 4{,}1\\\\ 4{,}5 & 4{,}0\\\\ 5{,}0 & 3{,}5 \end{array}

Passo 2

O que é a regra do ponto médio e a fórmula que vamos usar.
Se dividirmos o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais, a largura de cada subintervalo é
h=\frac{b-a}{n}.
O ponto médio do i-ésimo subintervalo é
\bar x_i = a + \Big(i-\tfrac{1}{2}\Big)h,\quad i=1,\dots,n.
A regra do ponto médio aproxima a integral por
\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(\bar x_i)\,h.
O significado de cada símbolo:
  • a e b são os limites de integração ( a=1, b=5 aqui).
  • n é o número de subintervalos que escolhemos.
  • h é a largura de cada subintervalo.
  • \bar x_i é o ponto médio do subintervalo i.
    A ideia: avaliamos f nos pontos médios e multiplicamos pela largura; isso costuma dar boa aproximação porque o valor médio da função no subintervalo é bem representado pelo valor no ponto médio.

Passo 3

Escolha do particionamento: como a tabela fornece valores em x=1{,}5,\,2{,}5,\,3{,}5,\,4{,}5, é natural escolher subintervalos de largura h=1 (ou seja, n=4), cujos pontos médios são exatamente esses valores.
Calcule h:
h=\frac{5-1}{4}=1.
Os pontos médios são
\bar x_1=1{,}5,\quad \bar x_2=2{,}5,\quad \bar x_3=3{,}5,\quad \bar x_4=4{,}5,
que estão todos na tabela.

Passo 4

Pegando os valores da tabela (explicitando que retirei esses números da tabela do enunciado):
f(1{,}5)=2{,}9,\quad f(2{,}5)=3{,}6,\quad f(3{,}5)=4{,}0,\quad f(4{,}5)=4{,}0.
Somando os valores:
2{,}9+3{,}6=6{,}5,
6{,}5+4{,}0=10{,}5,
10{,}5+4{,}0=14{,}5.
Logo \displaystyle \sum_{i=1}^{4} f(\bar x_i)=14{,}5.

Passo 5

Aplicando a regra do ponto médio:
\int_{1}^{5} f(x)\,dx \approx h\sum_{i=1}^{4} f(\bar x_i)=1\cdot 14{,}5=14{,}5.
Portanto a estimativa da integral é \,14{,}5. Força aí — é um bom resultado rápido para a prova!

Resposta

14{,}5

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