(1 pontos) Calcule a integral de linha:
\int_{C} z d x+x d y+y d z
para a curva C: x=t^{2}, y=t^{3}, z=t^{2} com 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} z\,dx + x\,dy + y\,dz
ao longo da curva C dada por
x=t^{2},\qquad y=t^{3},\qquad z=t^{2},\qquad 0\le t\le1.
Informações relevantes: a curva está parametrizada por t no intervalo [0,1]; as funções x(t),y(t),z(t) estão explícitas e serão usadas para transformar a integral de linha numa integral em t.

Passo 2

Ideia do método (sem jargão): quando temos uma integral de linha do tipo \displaystyle\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz e a curva C é dada por uma parametrização (x(t),y(t),z(t)), substituímos dx,x,dy,y,dz,z por expressões em t. A fórmula que vamos usar é
\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_{a}^{b}\big(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\big)\,dt,
onde a e b são os extremos do parâmetro (aqui a=0, b=1). Aqui x'(t)=\dfrac{dx}{dt}, etc. Vou explicar cada peça quando aplicarmos.

Passo 3

Calcula-se as derivadas em relação a t (isto dá os diferenciais):
x(t)=t^{2}\implies x'(t)=2t,\qquad y(t)=t^{3}\implies y'(t)=3t^{2},\qquad z(t)=t^{2}\implies z'(t)=2t.
Portanto os diferenciais são dx=x'(t)\,dt=2t\,dt, dy=3t^{2}\,dt, dz=2t\,dt.

Passo 4

Identificamos P=z, Q=x, R=y. Substituímos x(t),y(t),z(t) e x'(t),y'(t),z'(t) na fórmula:
P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)
fica
z(t)\,x'(t)+x(t)\,y'(t)+y(t)\,z'(t).
Agora plugamos os valores: z(t)=t^{2}, x'(t)=2t; x(t)=t^{2}, y'(t)=3t^{2}; y(t)=t^{3}, z'(t)=2t. Logo o integrando é
t^{2}\cdot 2t + t^{2}\cdot 3t^{2} + t^{3}\cdot 2t.

Passo 5

Simplificando termo a termo:
t^{2}\cdot 2t = 2t^{3},\qquad t^{2}\cdot 3t^{2}=3t^{4},\qquad t^{3}\cdot 2t=2t^{4}.
Somando,
2t^{3}+3t^{4}+2t^{4}=2t^{3}+5t^{4}.
Portanto a integral de linha reduz-se à integral de uma função de uma variável:
\int_{C} z\,dx+x\,dy+y\,dz=\int_{0}^{1}\big(2t^{3}+5t^{4}\big)\,dt.

Passo 6

Integramos usando a regra da potência: \displaystyle\int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}.
Calculemos as duas parcelas separadamente:
\int_{0}^{1}2t^{3}\,dt = 2\cdot\frac{t^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=\frac{t^{4}}{2}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{2},
\int_{0}^{1}5t^{4}\,dt = 5\cdot\frac{t^{5}}{5}\Big|_{0}^{1}=t^{5}\Big|_{0}^{1}=1.

Passo 7

Somando as duas parcelas obtém-se o valor final da integral:
\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.
Bom trabalho — foi só aplicar a parametrização, trocar dx,dy,dz por x'(t)dt,\dots, simplificar e integrar. Você consegue fazer isso na prova com calma.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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