Use a Regra do Ponto Médio e a Regra de Simpson para aproximar a seguinte integral:
\int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen}(x) d x, \quad n=6
Compare o resultado com o valor real para determinar o erro em cada aproximação.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin(x)\,dx por duas regras numéricas com n=6: Regra do Ponto Médio e Regra de Simpson.
  • Comparar cada aproximação com o valor real da integral e calcular o erro.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x\sin(x).
  • O intervalo de integração é [0,\pi].
  • O número de subintervalos é n=6.

Passo 2

Calcular o valor exato da integral (vai servir de referência para o erro). Vou aplicar integração por partes, passo a passo.
Fórmula de integração por partes: se u=u(x) e v'=v'(x), então
\int u\,v'\,dx = u v - \int u' v\,dx.
Escolho u = x e v'=\sin(x). Então u'=1 e uma primitiva de \sin(x) é v=-\cos(x). Aplicando:
\int x\sin(x)\,dx = x(-\cos x) - \int 1\cdot(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
A primitiva de \cos x é \sin x. Logo
\int x\sin(x)\,dx = -x\cos x + \sin x + C.
Agora avalio de 0 a \pi:
\Big[-x\cos x + \sin x\Big]_{0}^{\pi} = \big(-\pi\cos\pi + \sin\pi\big) - \big(-0\cos0 + \sin0\big).
Usando \cos\pi=-1 e \sin\pi=0 e \sin0=0:
\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = -\pi(-1)+0 - 0 = \pi.
Portanto o valor exato da integral é \pi. Guarde isso para comparar os erros.

Passo 3

Regra do Ponto Médio (definição e preparação)
  • Divido o intervalo [0,\pi] em n=6 subintervalos de largura
h = \frac{\pi-0}{6} = \frac{\pi}{6}.
  • Os pontos médios de cada subintervalo são
x_i^* = \frac{(2i-1)\,h}{2} = \left(i-\tfrac12\right)h,\quad i=1,2,\dots,6.
Escrevendo em termos de \pi, os médios são
x_1^*=\frac{\pi}{12},\; x_2^*=\frac{\pi}{4},\; x_3^*=\frac{5\pi}{12},\; x_4^*=\frac{7\pi}{12},\; x_5^*=\frac{3\pi}{4},\; x_6^*=\frac{11\pi}{12}.
Fórmula do Ponto Médio:
M_n = h\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*).

Passo 4

Aplicando a Regra do Ponto Médio ao nosso f(x)=x\sin x.
Observe uma simetria útil: para cada par simétrico em torno de \pi/2, x_j^* + x_{7-j}^* = \pi e \sin(x_j^*)=\sin(x_{7-j}^*). Assim
f(x_j^*)+f(x_{7-j}^*) = x_j^*\sin x_j^* + (\pi-x_j^*)\sin x_j^* = \pi\sin x_j^*.
Portanto a soma dos seis valores se reduz a três termos:
\sum_{i=1}^{6} f(x_i^*) = \pi\big(\sin(\tfrac{\pi}{12})+\sin(\tfrac{\pi}{4})+\sin(\tfrac{5\pi}{12})\big).
Usando valores trigonométricos exatos:
\sin\big(\tfrac{\pi}{12}\big)=\sin15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\qquad \sin\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\big(\tfrac{5\pi}{12}\big)=\sin75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.
Somando \sin15^\circ+\sin75^\circ = \dfrac{2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}. Somando com \sin45^\circ temos
\sin\big(\tfrac{\pi}{12}\big)+\sin\big(\tfrac{\pi}{4}\big)+\sin\big(\tfrac{5\pi}{12}\big) = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.
Logo a soma dos f(x_i^*) é \pi\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} e
M_6 = h\sum_{i=1}^{6} f(x_i^*) = \frac{\pi}{6}\cdot \pi\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi^2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{12}.
Agora a aproximação numérica (arredondando ao menos 6 casas decimais):
M_6 \approx 3{,}177768568011630.
Erro absoluto comparando com o valor exato \pi:
\text{erro}_{\text{PM}} = \big|M_6 - \pi\big| \approx 3{,}177768568011630 - 3{,}141592653589793 \approx 0{,}036175914421837.

Passo 5

Regra de Simpson (definição e aplicação)
  • Para Simpson com n=6 (número par), a largura é h=\pi/6 e os nós são
x_k = 0 + k h = \frac{k\pi}{6},\quad k=0,1,\dots,6.
  • Fórmula de Simpson:
S_n = \frac{h}{3}\big( f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\big).
Calculo dos valores f(x_k)=x_k\sin x_k:
\begin{aligned} f(0)&=0,\\\ f\big(\tfrac{\pi}{6}\big)&=\tfrac{\pi}{6}\sin\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=\tfrac{\pi}{6}\cdot\tfrac12=\tfrac{\pi}{12},\\\ f\big(\tfrac{\pi}{3}\big)&=\tfrac{\pi}{3}\sin\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{\pi}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\pi\sqrt{3}}{6},\\\ f\big(\tfrac{\pi}{2}\big)&=\tfrac{\pi}{2}\cdot1=\tfrac{\pi}{2},\\\ f\big(\tfrac{2\pi}{3}\big)&=\tfrac{2\pi}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\pi\sqrt{3}}{3},\\\ f\big(\tfrac{5\pi}{6}\big)&=\tfrac{5\pi}{6}\cdot\tfrac12=\tfrac{5\pi}{12},\\\ f(\pi)&= \pi\cdot 0 = 0. \end{aligned}
Substituindo na fórmula de Simpson com h=\tfrac{\pi}{6}:
S_6 = \frac{h}{3}\big(0 + 4\cdot\tfrac{\pi}{12} + 2\cdot\tfrac{\pi\sqrt{3}}{6} + 4\cdot\tfrac{\pi}{2} + 2\cdot\tfrac{\pi\sqrt{3}}{3} + 4\cdot\tfrac{5\pi}{12} + 0\big).
Simplificando os coeficientes (fatorando \pi):
o somatório interior dá 4\pi + \pi\sqrt{3}. Assim
S_6 = \frac{\pi}{18}\big(4\pi + \pi\sqrt{3}\big) = \frac{\pi^2(4+\sqrt{3})}{18}.
Aproximação numérica:
S_6 \approx 3{,}143003779\quad(\text{aprox.}).
Erro absoluto:
\text{erro}_{\text{S}} = \big|S_6 - \pi\big| \approx 3{,}143003779 - 3{,}141592654 \approx 0{,}001411125.

Resposta

Regra do Ponto Médio (n=6): M_6 = \dfrac{\pi^2(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{12} \approx 3{,}177768568011630; erro \approx 0{,}036175914421837.
Regra de Simpson (n=6): S_6 = \dfrac{\pi^2(4+\sqrt{3})}{18} \approx 3{,}143003779; erro \approx 0{,}001411125.
Valor exato: \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = \pi \approx 3{,}141592653589793.

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