Use a Regra do Ponto Médio e a Regra de Simpson para aproximar a seguinte integral:
Compare o resultado com o valor real para determinar o erro em cada aproximação.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Aproximar a integral
por duas regras numéricas com : Regra do Ponto Médio e Regra de Simpson. - Comparar cada aproximação com o valor real da integral e calcular o erro.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo de integração é
. - O número de subintervalos é
.
Passo 2
Calcular o valor exato da integral (vai servir de referência para o erro). Vou aplicar integração por partes, passo a passo.
Fórmula de integração por partes: se
e
, então
Escolho
e
. Então
e uma primitiva de
é
. Aplicando:
A primitiva de
é
. Logo
Agora avalio de
a
:
Usando
e
e
:
Portanto o valor exato da integral é
. Guarde isso para comparar os erros.
Passo 3
Regra do Ponto Médio (definição e preparação)
- Divido o intervalo
em subintervalos de largura
- Os pontos médios de cada subintervalo são
Escrevendo em termos de
, os médios são
Fórmula do Ponto Médio:
Passo 4
Aplicando a Regra do Ponto Médio ao nosso
.
Observe uma simetria útil: para cada par simétrico em torno de ,
e
. Assim
Observe uma simetria útil: para cada par simétrico em torno de
Portanto a soma dos seis valores se reduz a três termos:
Usando valores trigonométricos exatos:
Somando
. Somando com
temos
Logo a soma dos
é
e
Agora a aproximação numérica (arredondando ao menos 6 casas decimais):
Erro absoluto comparando com o valor exato
:
Passo 5
Regra de Simpson (definição e aplicação)
- Para Simpson com
(número par), a largura é e os nós são
- Fórmula de Simpson:
Calculo dos valores
:
Substituindo na fórmula de Simpson com
:
Simplificando os coeficientes (fatorando
):
o somatório interior dá . Assim
o somatório interior dá
Aproximação numérica:
Erro absoluto:
Resposta
Regra do Ponto Médio (n=6):
; erro
Regra de Simpson (n=6): ; erro
Valor exato:
Regra de Simpson (n=6):
Valor exato: