Calcule os possíveis limites das sequências recursivas abaixo usando a propriedade
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência definida por recorrência com termo inicial
e regra
Pede para calcular os possíveis limites usando a propriedade
.
Informações relevantes:
- A sequência é dada por
e . - Devemos usar a igualdade entre os limites dos termos consecutivos caso o limite exista.
Passo 2
Ideia básica (a propriedade pedida). Suponha que a sequência tenha limite finito
. Pela propriedade fornecida, tem-se
Substituindo a recorrência no lado direito obtemos a equação que o limite deve satisfazer:
Passo 3
Resolver a equação para encontrar os possíveis valores de
. A equação é
Multiplicando ambos os lados por
(isso é legítimo desde que consideremos soluções numéricas):
Isto dá a equação quadrática
Fatorando:
Portanto as raízes (os possíveis limites) são
Passo 4
Agora precisamos decidir qual desses valores é compatível com a sequência que começa em
. Primeiro uma observação simples sobre sinal dos termos:
e, para qualquer
,
porque o numerador é positivo e o denominador é
(já que
é positivo por hipótese de indução). Assim, por indução, todos os termos
são positivos:
Logo a sequência não pode convergir para
(que é negativo). Assim
é um possível fixo da função iterada, mas não é atingível a partir do termo inicial dado.
Passo 5
Agora vamos mostrar que a sequência realmente converge para
. Primeiro observação numérica rápida para entender o comportamento inicial:
A partir de
e
todos os termos subsequentes ficam num intervalo fechado. Calculemos o intervalo que contém todos os termos a partir de
:
Note que
é decrescente. Temos
Portanto,
envia o intervalo
em si mesmo:
Como
e
, segue por indução que
para todo
. Assim a sequência é limitada.
Passo 6
Usar propriedade de contração (uma forma prática e curta de garantir convergência). Calcule a derivada de
:
No intervalo
temos, em valor absoluto,
Como
com
em todo o intervalo
, a função
é uma contração em
. Além disso
. Essas duas propriedades implicam (pelo princípio da iteração de funções contrativas) que a iteração
com
converge para o único ponto fixo de
em
.
Passo 7
Identificar o único ponto fixo em
. Dos dois fixos encontrados no Passo 3,
e
, apenas
está no intervalo
. Portanto a iteração convergirá para
.
Uma maneira alternativa de ver intuitivamente (sem derivada) é notar que, se
então
e se
então
; a sequência alterna em torno de
e fica aprisionada no intervalo onde
aproxima cada vez mais de
. A contração formaliza que a aproximação melhora geometricamente.
Passo 8
Conclusão final: os possíveis limites (soluções da equação fixa) são
e
, mas dado
(e portanto todos os
e, a partir de
,
), a sequência converge para
.
Resposta
Possíveis limites:
e
Limite da sequência com :
Limite da sequência com