Calcule os possíveis limites das sequências recursivas abaixo usando a propriedade \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n+1}.
a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{6}{1+a_{n}}

Passo 1

O enunciado dá uma sequência definida por recorrência com termo inicial a_{1}=1 e regra
a_{n+1}=\frac{6}{1+a_{n}}.
Pede para calcular os possíveis limites usando a propriedade \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}.
Informações relevantes:
  • A sequência é dada por a_{1}=1 e a_{n+1}=6/(1+a_{n}).
  • Devemos usar a igualdade entre os limites dos termos consecutivos caso o limite exista.

Passo 2

Ideia básica (a propriedade pedida). Suponha que a sequência tenha limite finito L=\lim_{n\to\infty}a_{n}. Pela propriedade fornecida, tem-se
L=\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}.
Substituindo a recorrência no lado direito obtemos a equação que o limite deve satisfazer:
L=\frac{6}{1+L}.

Passo 3

Resolver a equação para encontrar os possíveis valores de L. A equação é
L=\frac{6}{1+L}.
Multiplicando ambos os lados por 1+L (isso é legítimo desde que consideremos soluções numéricas):
L(1+L)=6.
Isto dá a equação quadrática
L^{2}+L-6=0.
Fatorando:
(L+3)(L-2)=0.
Portanto as raízes (os possíveis limites) são
L=-3\quad\text{ou}\quad L=2.

Passo 4

Agora precisamos decidir qual desses valores é compatível com a sequência que começa em a_{1}=1. Primeiro uma observação simples sobre sinal dos termos: a_{1}=1>0 e, para qualquer n,
a_{n+1}=\frac{6}{1+a_{n}}>0
porque o numerador é positivo e o denominador é 1+a_{n}>0 (já que a_n é positivo por hipótese de indução). Assim, por indução, todos os termos a_{n} são positivos:
a_{n}>0\quad\text{para todo }n.
Logo a sequência não pode convergir para -3 (que é negativo). Assim -3 é um possível fixo da função iterada, mas não é atingível a partir do termo inicial dado.

Passo 5

Agora vamos mostrar que a sequência realmente converge para 2. Primeiro observação numérica rápida para entender o comportamento inicial:
a_{1}=1,\qquad a_{2}=\frac{6}{1+1}=3,\qquad a_{3}=\frac{6}{1+3}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5.
A partir de a_{2}=3 e a_{3}=1{,}5 todos os termos subsequentes ficam num intervalo fechado. Calculemos o intervalo que contém todos os termos a partir de n=2:
f(x)=\frac{6}{1+x}.
Note que f é decrescente. Temos
f(3)=\frac{6}{1+3}=\frac{6}{4}=1{,}5, \qquad f(1{,}5)=\frac{6}{1+1{,}5}=\frac{6}{2{,}5}=2{,}4.
Portanto, f envia o intervalo [1{,}5,3] em si mesmo:
f\big([1{,}5,3]\big) \subset [1{,}5,3].
Como a_{2}=3 e a_{3}=1{,}5, segue por indução que a_{n}\in[1{,}5,3] para todo n\ge2. Assim a sequência é limitada.

Passo 6

Usar propriedade de contração (uma forma prática e curta de garantir convergência). Calcule a derivada de f(x)=6/(1+x):
f'(x)=-\frac{6}{(1+x)^{2}}.
No intervalo I=[1{,}5,3] temos, em valor absoluto,
|f'(x)|=\frac{6}{(1+x)^{2}}\le \frac{6}{(1+1{,}5)^{2}}=\frac{6}{2{,}5^{2}}=\frac{6}{6{,}25}=0{,}96<1.
Como |f'(x)|\le k com k<1 em todo o intervalo I, a função f é uma contração em I. Além disso f(I)\subset I. Essas duas propriedades implicam (pelo princípio da iteração de funções contrativas) que a iteração a_{n+1}=f(a_{n}) com a_{2}\in I converge para o único ponto fixo de f em I.

Passo 7

Identificar o único ponto fixo em I. Dos dois fixos encontrados no Passo 3, L=-3 e L=2, apenas L=2 está no intervalo I=[1{,}5,3]. Portanto a iteração convergirá para L=2.
Uma maneira alternativa de ver intuitivamente (sem derivada) é notar que, se x<2 então f(x)>2 e se x>2 então f(x)<2; a sequência alterna em torno de 2 e fica aprisionada no intervalo onde f aproxima cada vez mais de 2. A contração formaliza que a aproximação melhora geometricamente.

Passo 8

Conclusão final: os possíveis limites (soluções da equação fixa) são -3 e 2, mas dado a_{1}=1 (e portanto todos os a_{n}>0 e, a partir de n=2, a_n\in[1{,}5,3]), a sequência converge para 2.

Resposta

Possíveis limites: -3 e 2
Limite da sequência com a_{1}=1: 2

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