Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo genérico é a_n=\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^{n^{2}}.
  • Para n=1 tem-se a_1=\left(1-2\right)^{1}=-1.
  • Para n=2 tem-se a_2=\left(1-1\right)^{4}=0.
  • Para n\ge3 a base 1-\dfrac{2}{n} é positiva, logo a_n>0 para n\ge3.
    A pergunta é única: a série converge (absoluta ou condicional) ou diverge?

Passo 2

Vamos analisar o comportamento assintótico de a_n. Um jeito eficiente é aplicar o teste da raiz (root test), que exige calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Primeiro calcule a n-ésima raiz de |a_n|:
\sqrt[n]{|a_n|}=\left|1-\frac{2}{n}\right|^{n}.
Portanto precisamos do limite
L=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}.

Passo 3

Calculemos L passando para o logaritmo (isso facilita limites do tipo (1+\text{pequeno})^{\text{grande}}). Defina
\ell=\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right).
Então L=\mathrm{e}^{\ell}. Para calcular \ell faça a mudança t=\dfrac{1}{n} (assim t\to0^+ quando n\to\infty). Escrevendo o limite em t:
\ell=\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1-2t)}{t}.
Esse é um caso 0/0, então aplica-se l’Hôpital:
\ell=\lim_{t\to0^+}\frac{\dfrac{d}{dt}\ln(1-2t)}{\dfrac{d}{dt}t} =\lim_{t\to0^+}\frac{-2}{1-2t}=-2.
Portanto
L=\mathrm{e}^{\ell}=\mathrm{e}^{-2}.

Passo 4

Interpretando o resultado para o teste da raiz: temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\mathrm{e}^{-2}.
Como \mathrm{e}^{-2}<1, o teste da raiz garante que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge absolutamente. Lembre: o teste da raiz diz que se
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L<1
então \sum a_n converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 é inconclusivo.

Passo 5

Explicando de outro ângulo (intuição): a aproximação assintótica pode ser obtida também pela expansão do logaritmo. Para n grande,
\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right)=-\frac{2}{n}-\frac{2}{n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right),
multiplicando por n^{2} obtemos
n^{2}\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right)=-2n-2+O\!\left(\frac{1}{n}\right),
logo
a_n=\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}}=\mathrm{e}^{n^{2}\ln(1-2/n)}\approx \mathrm{e}^{-2}\,\mathrm{e}^{-2n}.
Assim a_n decai geometricamente como constante vezes (\mathrm{e}^{-2})^{n}, e a soma de termos assim é uma série geométrica convergente. Isso reforça a conclusão do passo anterior.

Passo 6

Observações finais e dicas de prova:
  • Termos iniciais finitos ( a_1,a_2) não afetam a convergência da série.
  • Para séries cujos termos têm potências com n no expoente (aqui n^{2}), o teste da raiz é uma ferramenta natural porque transforma a potência em algo manejável.
  • Conclusão prática rápida para a prova: calcule \lim \sqrt[n]{|a_n|}=(1-2/n)^{n}\to \mathrm{e}^{-2}<1 e invoque o teste da raiz.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).

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