Calcule possíveis valores de k para que a equação x^2-4 x+3 log (k-1)=0 tenha raízes com sinais contrários.

Passo 1

Resumindo: queremos encontrar os valores de k tais que a equação
x^2 - 4x + 3log(k-1) = 0
tenha raízes reais e de sinais contrários. Vamos usar a condição de existência de raízes reais (discriminante não negativo) e o critério de Viète para raízes de sinais opostos (produto negativo).

Passo 2

A função log(k-1) exige que o seu argumento seja positivo, ou seja,
k - 1 > 0 Longrightarrow k > 1

Passo 3

Para que as raízes sejam reais, o discriminante
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdotl(3log(k-1)r) =16 - 12log(k-1)
deve satisfazer
16 - 12log(k-1) >= 0 Longrightarrow log(k-1)<= 43 Longrightarrow k-1 <= e^4/3 Longrightarrow k <= 1 + e^4/3

Passo 4

Pelas fórmulas de Viète, o produto das raízes é
x1 x2 = ca = 3log(k-1)
Queremos que x1 x2<0, logo
3log(k-1)<0 Longrightarrow log(k-1)<0 Longrightarrow 0<k-1<1 Longrightarrow 1<k<2

Passo 5

Agora intersectamos as condições:
k>1 (domínio do log),
k<= 1+e^4/3 (raízes reais) e
k<2 (produto negativo).
Como 1+e^4/3>2, a interseção fica
1<k<2

Resposta

1<k<2

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