Considere a função f(x)=|x^2-1|, determine:
a) f^2=f circ f;
b) os pontos fixos de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=l|x^2-1r|
e pede que a) a gente escreva a composição f^2=fcirc f de forma simples e b) que a gente ache os pontos fixos, isto é, as soluções de
f(x)=x
Para resolver isso, vamos primeiro montar fcirc f e depois estudar a equação l|x^2-1r|=x.

Passo 2

Por definição de composição,
f^2(x)=fl(f(x)r) =l|l(f(x)r)^2-1r| =l|l|x^2-1r|^2-1r|

Passo 3

Repare que l|x^2-1r|^2=(x^2-1)^2. Então
f^2(x) =l|(x^2-1)^2-1r| =l|x^4-2x^2+1-1r| =l|x^4-2x^2r| =l|x^2(x^2-2)r|
Como l|x^2(x^2-2)r|=x^2,l|x^2-2r|, a forma mais simplificada é
boxedf^2(x)=x^2,l|x^2-2r|

Passo 4

Agora, para achar os pontos fixos, resolvemos
l|x^2-1r|=x
Como o lado esquerdo é sempre >=0, qualquer solução deve satisfazer x>=0. Vamos então estudar o caso x>=0 em dois subcasos:

Passo 5

Caso A: x^2-1>=0, ou seja x>=1. A equação vira
x^2-1 = x Longrightarrow x^2-x-1=0
As raízes são
x=1pmraiz1+42 =1pmraiz52
Dessas, para x>=1 só vale
x=1+raiz52

Passo 6

Caso B: x^2-1<0, ou seja 0<= x<1. A equação vira
1-x^2=x Longrightarrow x^2+x-1=0
As raízes são
x=-1pmraiz1+42 =-1pmraiz52
Dessas, só cabe em [0,1) a raiz
x=-1+raiz52

Resposta

a) f^2(x)=x^2,l|x^2-2r|.
b) Os pontos fixos são
x=raiz5-12 e x=1+raiz52

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