Considere a função
, determine:
a)
f^2=f circ f ;
b) os pontos fixos de
f .
a)
b) os pontos fixos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a) a gente escreva a composição
f^2=fcirc f de forma simples e b) que a gente ache os pontos fixos, isto é, as soluções de
Para resolver isso, vamos primeiro montar
fcirc f e depois estudar a equação
l|x^2-1r|=x .
Passo 2
Por definição de composição,
Passo 3
Repare que
l|x^2-1r|^2=(x^2-1)^2 . Então
Como
l|x^2(x^2-2)r|=x^2,l|x^2-2r| , a forma mais simplificada é
Passo 4
Agora, para achar os pontos fixos, resolvemos
Como o lado esquerdo é sempre
>=0 , qualquer solução deve satisfazer
x>=0 . Vamos então estudar o caso
x>=0 em dois subcasos:
Passo 5
Caso A:
x^2-1>=0 , ou seja
x>=1 . A equação vira
As raízes são
Dessas, para
x>=1 só vale
Passo 6
Caso B:
x^2-1<0 , ou seja
0<= x<1 . A equação vira
As raízes são
Dessas, só cabe em
[0,1) a raiz
Resposta
a)
f^2(x)=x^2,l|x^2-2r| .
b) Os pontos fixos são
b) Os pontos fixos são