1. Calcule os possíveis valores de S.L para l=1 e s=1 / 2.

Passo 1

O enunciado dá os valores l=1 e s=\tfrac{1}{2} e pede para calcular os possíveis valores do produto escalar entre os operadores de spin e momento orbital, isto é \mathbf{S}\cdot\mathbf{L}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • l=1 (momento angular orbital).
  • s=\tfrac{1}{2} (spin).
  • Querem os possíveis valores (autovalores) de \mathbf{S}\cdot\mathbf{L} quando esses momentos são combinados.

Passo 2

Vamos usar a relação entre os operadores totais. Defina o operador de momento angular total
\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}.
Expandindo o quadrado do operador \mathbf{J} obtemos
\mathbf{J}^2=(\mathbf{L}+\mathbf{S})^2=\mathbf{L}^2+\mathbf{S}^2+2\,\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}.
Isolando \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} vem a identidade útil
\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}=\tfrac{1}{2}\big(\mathbf{J}^2-\mathbf{L}^2-\mathbf{S}^2\big).
Explicando as quantidades:
  • \mathbf{J}^2, \mathbf{L}^2, \mathbf{S}^2 são operadores cujo autovalor (quando o sistema está em um estado próprio de cada) é \hbar^2 j(j+1), \hbar^2 l(l+1), \hbar^2 s(s+1) respectivamente.
  • Aqui j é o número quântico total (a soma vetorial de l e s), enquanto l e s são os números quânticos dados.
Portanto, os autovalores de \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} são dados por
\lambda_{LS}=\tfrac{\hbar^2}{2}\big(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\big),
onde j assume os valores permitidos pela soma angular.

Passo 3

Determinar os possíveis valores de j. Para dois momentos angulares l e s, j varia em passos inteiros no intervalo
j=|l-s|,\\ |l-s|+1,\\ \dots,\\ l+s.
Com l=1 e s=\tfrac{1}{2} temos
|l-s|=|1-\tfrac{1}{2}|=\tfrac{1}{2},\qquad l+s=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Logo os possíveis valores são
j=\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad j=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Calcular as contribuições fixas \mathbf{L}^2 e \mathbf{S}^2 (ou seja, seus autovalores):
l(l+1)=1\cdot 2=2,\qquad s(s+1)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{3}{4}.
Portanto
\mathbf{L}^2\to \hbar^2\cdot 2 = 2\hbar^2,\qquad \mathbf{S}^2\to \hbar^2\cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{3}{4}\hbar^2.

Passo 5

Calcular \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} para j=\tfrac{3}{2}.
Primeiro calcule j(j+1):
j(j+1)=\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{5}{2}=\tfrac{15}{4}.
Agora aplique a fórmula para o autovalor:
\lambda_{LS}=\tfrac{\hbar^2}{2}\Big(\tfrac{15}{4}-2-\tfrac{3}{4}\Big).
Somando os termos dentro dos parênteses:
\tfrac{15}{4}-2-\tfrac{3}{4}=\tfrac{15}{4}-\tfrac{8}{4}-\tfrac{3}{4}=\tfrac{4}{4}=1.
Logo
\lambda_{LS}=\tfrac{\hbar^2}{2}\cdot 1=\tfrac{\hbar^2}{2}.

Passo 6

Calcular \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} para j=\tfrac{1}{2}.
Primeiro j(j+1):
j(j+1)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{3}{4}.
Aplicando a fórmula:
\lambda_{LS}=\tfrac{\hbar^2}{2}\Big(\tfrac{3}{4}-2-\tfrac{3}{4}\Big).
Somando dentro dos parênteses:
\tfrac{3}{4}-2-\tfrac{3}{4}=-2.
Logo
\lambda_{LS}=\tfrac{\hbar^2}{2}\cdot(-2)=-\hbar^2.

Passo 7

Resumo e comentário rápido para lembrar na prova: com l=1 e s=\tfrac{1}{2} existem dois valores de j ( \tfrac{1}{2} e \tfrac{3}{2} ) e os autovalores de \mathbf{S}\cdot\mathbf{L} correspondentes são \tfrac{\hbar^2}{2} (para j=\tfrac{3}{2}) e -\hbar^2 (para j=\tfrac{1}{2}). Boa notícia: esse é o tipo de conta que cai direto na prova se você lembrar da identidade com \mathbf{J}^2 — decorou essa fórmula e já resolve rapidinho.

Resposta

\mathbf{S}\cdot\mathbf{L}=\dfrac{\hbar^2}{2}
\mathbf{S}\cdot\mathbf{L}=-\hbar^2

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