- Calcule os possíveis valores de S.L para
e
.
Passo 1
O enunciado dá os valores
e
e pede para calcular os possíveis valores do produto escalar entre os operadores de spin e momento orbital, isto é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
(momento angular orbital). -
(spin). - Querem os possíveis valores (autovalores) de
quando esses momentos são combinados.
Passo 2
Vamos usar a relação entre os operadores totais. Defina o operador de momento angular total
Expandindo o quadrado do operador
obtemos
Isolando
vem a identidade útil
Explicando as quantidades:
-
, , são operadores cujo autovalor (quando o sistema está em um estado próprio de cada) é , , respectivamente. - Aqui
é o número quântico total (a soma vetorial de e ), enquanto e são os números quânticos dados.
Portanto, os autovalores de
são dados por
onde
assume os valores permitidos pela soma angular.
Passo 3
Determinar os possíveis valores de
. Para dois momentos angulares
e
,
varia em passos inteiros no intervalo
Com
e
temos
Logo os possíveis valores são
Passo 4
Calcular as contribuições fixas
e
(ou seja, seus autovalores):
Portanto
Passo 5
Calcular
para
.
Primeiro calcule
:
Agora aplique a fórmula para o autovalor:
Somando os termos dentro dos parênteses:
Logo
Passo 6
Calcular
para
.
Primeiro
:
Aplicando a fórmula:
Somando dentro dos parênteses:
Logo
Passo 7
Resumo e comentário rápido para lembrar na prova: com
e
existem dois valores de
(
e
) e os autovalores de
correspondentes são
(para
) e
(para
). Boa notícia: esse é o tipo de conta que cai direto na prova se você lembrar da identidade com
— decorou essa fórmula e já resolve rapidinho.