Questão 04) O modelo atômico de Bohr postula que os elétrons giram em torno do núcleo atômico positivo sob a ação da força de atração eletrostática e ocupam órbitas circulares estacionárias com níveis discretos (quantizados) de energia e quantidade de movimento angular. Considere o isótopo de hidrogênio formado por 1 próton e 1 elétron com massa
a) Sabendo-se que os valores discretos da quantidade de movimento angular do elétron são dados por
, onde
e
é a constante de Planck, determine o raio da órbita do elétron,
, em função do número quântico principal
, que representa a camada eletrônica ou nível de energia ocupado pelo elétron. b) Encontre o valor de
para o átomo de hidrogênio no seu estado fundamental de energia. c) Encontre uma expressão para a energia total do elétron em termos de
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e nos dá algumas informações claras. Vou listar o que é pedido e os dados fornecidos (sem resolver ainda):
-
O que é pedido:
- (a) Determinar o raio da órbita do elétron
em função do número quântico principal ( ). - (b) Calcular o valor numérico de
para o estado fundamental ( ). - (c) Encontrar uma expressão para a energia total do elétron
em termos de .
- (a) Determinar o raio da órbita do elétron
-
Informações fornecidas e constantes que vamos usar:
- Quantização do momento angular:
, onde e (valor fornecido). - Massa do elétron indicada pelo enunciado como
(usarei o símbolo em todas as fórmulas; para o cálculo numérico em (b) vou usar o valor conhecido ). - Carga elementar:
(valor exato pelo SI). - Constante elétrica do vácuo:
. - Aqui a força que mantém o elétron na órbita é a força eletrostática (lei de Coulomb) e o movimento é circular (força centrípeta). Esses ingredientes serão usados para relacionar velocidade, raio e momento angular.
- Quantização do momento angular:
Passo 2
Apresentar as fórmulas fundamentais que conectam as quantidades físicas do problema.
- Força eletrostática (módulo) entre próton e elétron pela lei de Coulomb:
Explicação:
é a permissividade do vácuo,
é a carga do elétron (módulo), e
é o raio da órbita.
- Força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular com velocidade
:
Explicação: essa é a forma padrão da força centrípeta para uma massa
descrevendo um movimento circular de raio
e velocidade
.
- Condição de equilíbrio da órbita (força eletrostática fornece a força centrípeta):
Explicação: igualamos as duas forças porque a atração elétrica mantém o elétron em órbita circular estável.
- Quantização do momento angular (dado no enunciado):
Explicação: essa equação relaciona a velocidade
, o raio
e o número quântico
.
No próximo passo vamos usar (3) e (4) para eliminar
e obter
em função de
e constantes.
Passo 3
Derivar
em função de
(usar as equações do passo anterior e fazer álgebra passo a passo).
Da quantização:
Substituir
em (3). Primeiro escrevo
:
Agora substituir em
:
Simplificar o lado esquerdo:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar potências de
:
Isolando
:
Reescrevendo de forma bonita:
Explicação das partes:
- O fator
é uma constante (quando é o massa do elétron) e corresponde ao raio da primeira órbita ( ). Esse valor conhecido é chamado raio de Bohr . - A dependência
implica que as órbitas ficam cada vez maiores com (quadraticamente).
Passo 4
Identificar e definir o raio de Bohr
e explicar unidade/ordem de grandeza.
Definição:
logo
Unidade:
tem dimensão de comprimento (metros). Ordem de grandeza: é da ordem de
, ou seja, dezenas de picômetros (um átomo é da ordem de angstroms;
).
Passo 5
Calcular numericamente
(estado fundamental,
). Vou mostrar os valores das constantes usados e o resultado final.
Constantes usadas:
Substituindo em
obtém-se (valor conhecido):
Portanto, para
:
Comentário prático: em provas é comum memorizar
(ou
).]
Passo 6
Derivar a expressão para a energia total
do elétron (passo a passo, didático).
Energia cinética clássica do elétron na órbita:
Energia potencial elétrica (do par próton-elétron, tomando zero de referência no infinito):
Explicação: o sinal negativo indica energia ligada (atração).
Já sabemos pela condição de equilíbrio que
Logo
pode ser escrito como
A energia total
é
:
Assim,
Agora substituir
(ou usar a expressão completa em constantes). Vou expressar
em duas formas equivalentes.
Usando
:
Substituindo
(cancelamentos mostram a forma em termos de constantes fundamentais):
(Observação do cancelamento: uso
para passar de
para
; as manipulações algébricas levam a essa forma compacta.)
Forma prática e muito usada (valores numéricos dando energia do estado fundamental): substituindo constantes numéricas obtém-se
Portanto o estado fundamental (
) tem energia
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (memorização e como aplicar rápido):
- Lembre-se das dependências:
e . Essas formas aparecem sempre. - Memorize o raio de Bohr
e a energia do estado fundamental . Com isso, muitas respostas numéricas ficam imediatas. - Se pedirem derivação, siga rigidamente: (i) equacione forças (Coulomb = centrípeta), (ii) use
, (iii) elimine e resolva para , (iv) calcule energias via e .
Resposta
(a)
.\n
(b) (aprox.
).\n
(c) (logo
).
(b)
(c)