Questão 04) O modelo atômico de Bohr postula que os elétrons giram em torno do núcleo atômico positivo sob a ação da força de atração eletrostática e ocupam órbitas circulares estacionárias com níveis discretos (quantizados) de energia e quantidade de movimento angular. Considere o isótopo de hidrogênio formado por 1 próton e 1 elétron com massa m_{0} a) Sabendo-se que os valores discretos da quantidade de movimento angular do elétron são dados por L=n \hbar, onde \hbar=h / 2 \pi e h=6,62607015 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s} é a constante de Planck, determine o raio da órbita do elétron, r_{n}, em função do número quântico principal n(n=1,2,3 \ldots), que representa a camada eletrônica ou nível de energia ocupado pelo elétron. b) Encontre o valor de r_{n} para o átomo de hidrogênio no seu estado fundamental de energia. c) Encontre uma expressão para a energia total do elétron em termos de n.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e nos dá algumas informações claras. Vou listar o que é pedido e os dados fornecidos (sem resolver ainda):
  • O que é pedido:
    1. (a) Determinar o raio da órbita do elétron r_n em função do número quântico principal n ( n=1,2,3,\ldots).
    2. (b) Calcular o valor numérico de r_n para o estado fundamental ( n=1).
    3. (c) Encontrar uma expressão para a energia total do elétron E_n em termos de n.
  • Informações fornecidas e constantes que vamos usar:
    • Quantização do momento angular: L = n\hbar, onde \hbar = \dfrac{h}{2\pi} e h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} (valor fornecido).
    • Massa do elétron indicada pelo enunciado como m_0 (usarei o símbolo m_0 em todas as fórmulas; para o cálculo numérico em (b) vou usar o valor conhecido m_0 = 9,1093837015\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}).
    • Carga elementar: e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (valor exato pelo SI).
    • Constante elétrica do vácuo: \epsilon_0 \approx 8,8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
    • Aqui a força que mantém o elétron na órbita é a força eletrostática (lei de Coulomb) e o movimento é circular (força centrípeta). Esses ingredientes serão usados para relacionar velocidade, raio e momento angular.

Passo 2

Apresentar as fórmulas fundamentais que conectam as quantidades físicas do problema.
  1. Força eletrostática (módulo) entre próton e elétron pela lei de Coulomb:
F_{\text{Coulomb}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r^2}.
Explicação: \epsilon_0 é a permissividade do vácuo, e é a carga do elétron (módulo), e r é o raio da órbita.
  1. Força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular com velocidade v:
F_{\text{centrípeta}}=\dfrac{m_0 v^2}{r}.í
Explicação: essa é a forma padrão da força centrípeta para uma massa m_0 descrevendo um movimento circular de raio r e velocidade v.
  1. Condição de equilíbrio da órbita (força eletrostática fornece a força centrípeta):
\dfrac{m_0 v^2}{r}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r^2}.
Explicação: igualamos as duas forças porque a atração elétrica mantém o elétron em órbita circular estável.
  1. Quantização do momento angular (dado no enunciado):
L = m_0 v r = n\hbar.
Explicação: essa equação relaciona a velocidade v, o raio r e o número quântico n.
No próximo passo vamos usar (3) e (4) para eliminar v e obter r em função de n e constantes.

Passo 3

Derivar r_n em função de n (usar as equações do passo anterior e fazer álgebra passo a passo).
Da quantização: \;m_0 v r = n\hbar\;\Rightarrow\; v = \dfrac{n\hbar}{m_0 r}.
Substituir v^2 em (3). Primeiro escrevo v^2:
v^2 = \left(\dfrac{n\hbar}{m_0 r}\right)^2 = \dfrac{n^2\hbar^2}{m_0^2 r^2}.
Agora substituir em \dfrac{m_0 v^2}{r}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r^2}:
\dfrac{m_0}{r}\cdot \dfrac{n^2\hbar^2}{m_0^2 r^2} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r^2}.
Simplificar o lado esquerdo:
\dfrac{n^2\hbar^2}{m_0 r^3} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r^2}.
Multiplicando ambos os lados por r^3 para eliminar potências de r:
\dfrac{n^2\hbar^2}{m_0} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} e^2 r.
Isolando r:
r = \dfrac{n^2\hbar^2}{m_0}\cdot \dfrac{4\pi\epsilon_0}{e^2}.
Reescrevendo de forma bonita:
\boxed{\,r_n = \dfrac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_0 e^2}\; n^2\,.}
Explicação das partes:
  • O fator \dfrac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_0 e^2} é uma constante (quando m_0 é o massa do elétron) e corresponde ao raio da primeira órbita ( n=1). Esse valor conhecido é chamado raio de Bohr a_0.
  • A dependência \propto n^2 implica que as órbitas ficam cada vez maiores com n (quadraticamente).

Passo 4

Identificar e definir o raio de Bohr a_0 e explicar unidade/ordem de grandeza.
Definição:
a_0 \equiv \dfrac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_0 e^2},
logo
r_n = a_0\, n^2.
Unidade: a_0 tem dimensão de comprimento (metros). Ordem de grandeza: é da ordem de 10^{-11}\\ \mathrm{m}, ou seja, dezenas de picômetros (um átomo é da ordem de angstroms; 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}).

Passo 5

Calcular numericamente r_1 (estado fundamental, n=1). Vou mostrar os valores das constantes usados e o resultado final.
Constantes usadas:
\begin{aligned} h &= 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}\quad(\text{dado}),\\[4pt] \hbar &= \dfrac{h}{2\pi}\approx 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\\[4pt] m_0 &= 9,1093837015\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},\\[4pt] e &= 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\\[4pt] \epsilon_0 &= 8,8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. \end{aligned}
Substituindo em a_0=\dfrac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_0 e^2} obtém-se (valor conhecido):
a_0 \approx 5,29177210903\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Portanto, para n=1:
\boxed{\,r_1 = a_0 \approx 5,29177210903\times10^{-11}\\ \mathrm{m} \approx 0,529\,\text{\AA}\, .}
Comentário prático: em provas é comum memorizar a_0\approx 5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m} (ou 0,529\\ \text{\AA}).]

Passo 6

Derivar a expressão para a energia total E_n do elétron (passo a passo, didático).
Energia cinética clássica do elétron na órbita:
K = \dfrac{1}{2} m_0 v^2.
Energia potencial elétrica (do par próton-elétron, tomando zero de referência no infinito):
U = -\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
Explicação: o sinal negativo indica energia ligada (atração).
Já sabemos pela condição de equilíbrio que
m_0 v^2 = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
Logo K pode ser escrito como
K = \dfrac{1}{2} m_0 v^2 = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
A energia total E é E=K+U:
E = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r} - \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r} = -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
Assim,
E = -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.
Agora substituir r=r_n=a_0 n^2 (ou usar a expressão completa em constantes). Vou expressar E_n em duas formas equivalentes.
Usando r_n:
E_n = -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{a_0 n^2}.
Substituindo a_0=\dfrac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_0 e^2} (cancelamentos mostram a forma em termos de constantes fundamentais):
E_n = -\dfrac{m_0 e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2}\cdot \dfrac{1}{n^2}.
(Observação do cancelamento: uso \hbar^2 = \dfrac{h^2}{4\pi^2} para passar de \hbar para h; as manipulações algébricas levam a essa forma compacta.)
Forma prática e muito usada (valores numéricos dando energia do estado fundamental): substituindo constantes numéricas obtém-se
E_n = -\dfrac{13,605693\\ \mathrm{eV}}{n^2}\approx -\dfrac{13,6\\ \mathrm{eV}}{n^2}.
Portanto o estado fundamental ( n=1) tem energia
E_1 \approx -13,605693\\ \mathrm{eV}\approx -2,179872361\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (memorização e como aplicar rápido):
  • Lembre-se das dependências: r_n\propto n^2 e E_n\propto -1/n^2. Essas formas aparecem sempre.
  • Memorize o raio de Bohr a_0\approx 5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m} e a energia do estado fundamental E_1\approx -13,6\\ \mathrm{eV}. Com isso, muitas respostas numéricas ficam imediatas.
  • Se pedirem derivação, siga rigidamente: (i) equacione forças (Coulomb = centrípeta), (ii) use m_0 v r = n\hbar, (iii) elimine v e resolva para r, (iv) calcule energias via K=\tfrac{1}{2}m_0 v^2 e U=-\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r}.

Resposta

(a) r_n = \dfrac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_0 e^2}\; n^2.\n
(b) r_1 = a_0 \approx 5,29177210903\times10^{-11}\\ \mathrm{m} (aprox. 5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}).\n
(c) E_n = -\dfrac{m_0 e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2}\cdot \dfrac{1}{n^2} = -\dfrac{13,605693\\ \mathrm{eV}}{n^2} (logo E_1\approx -13,605693\\ \mathrm{eV}).

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