Dois vetores são dados por
\begin{gathered} \vec{a}=(4,0 m) \hat{\imath}-(3,0 m) \hat{\jmath}+(1,0 m) \hat{k} \\\ \vec{b}=(-1,0 m) \hat{\imath}+(1,0 m) \hat{\jmath}+(4,0 m) \hat{k} \end{gathered}
Determine, em termos de vetores unitários, (a) \vec{a}+\vec{b}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores (peguei os valores diretamente do enunciado) e pede, em termos de vetores unitários, a soma \vec{a}+\vec{b}. As informações relevantes são:
\vec{a}=(4,0\\ \mathrm{m})\hat{\imath}-(3,0\\ \mathrm{m})\hat{\jmath}+(1,0\\ \mathrm{m})\hat{k},
\vec{b}=(-1,0\\ \mathrm{m})\hat{\imath}+(1,0\\ \mathrm{m})\hat{\jmath}+(4,0\\ \mathrm{m})\hat{k}.
O que se pede:
(a) calcular \vec{a}+\vec{b} e escrever o resultado usando \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}.

Passo 2

Conceitos básicos necessários (explicação didática):
  • Vetores em coordenadas cartesianas são dados pela soma de componentes ao longo dos vetores unitários \hat{\imath} (eixo x), \hat{\jmath} (eixo y) e \hat{k} (eixo z).
  • Cada componente é um número (aqui em metros) que representa a projeção do vetor naquele eixo.
  • A soma de dois vetores é feita componente a componente: somam-se as componentes em x, somam-se as componentes em y e somam-se as componentes em z. Em fórmula:
\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x)\hat{\imath}+(a_y+b_y)\hat{\jmath}+(a_z+b_z)\hat{k},
onde \,a_x,a_y,a_z são as componentes de \vec{a} e \,b_x,b_y,b_z são as componentes de \vec{b}. Cada variável representa a componente numérica ao longo do respectivo eixo (em metros, neste problema).

Passo 3

Identificar as componentes de \vec{a} e \vec{b} a partir do enunciado:
a_x=4,0\\ \mathrm{m},\quad a_y=-3,0\\ \mathrm{m},\quad a_z=1,0\\ \mathrm{m},
b_x=-1,0\\ \mathrm{m},\quad b_y=1,0\\ \mathrm{m},\quad b_z=4,0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Somar componente a componente, mostrando as contas passo a passo:
  • Componente x:
a_x+b_x=4,0\\ \mathrm{m}+(-1,0\\ \mathrm{m})=3,0\\ \mathrm{m}.
  • Componente y:
a_y+b_y=-3,0\\ \mathrm{m}+1,0\\ \mathrm{m}=-2,0\\ \mathrm{m}.
  • Componente z:
a_z+b_z=1,0\\ \mathrm{m}+4,0\\ \mathrm{m}=5,0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Escrever o vetor soma usando os vetores unitários:
\vec{a}+\vec{b}=(3,0\\ \mathrm{m})\hat{\imath}-(2,0\\ \mathrm{m})\hat{\jmath}+(5,0\\ \mathrm{m})\hat{k}.
Dica rápida para a prova: sempre alinhe as componentes e some sinal por sinal; se um número é negativo, some com o sinal negativo (como fizemos em 4,0+(-1,0) e em -3,0+1,0). Respire fundo — é só soma componente a componente!

Resposta

(a) \vec{a}+\vec{b}=(3,0\\ \mathrm{m})\hat{\imath}-(2,0\\ \mathrm{m})\hat{\jmath}+(5,0\\ \mathrm{m})\hat{k}

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