Questão 05) De acordo com o modelo atómico de Bohr, a transição eletrônica para um nível de menor energia é acompanhada pela variação discreta de energia \triangle E=h \nu, sendo \nu a frequência da radiação eletromagnética emitida na transição eletrônica. Os comprimentos de onda, \lambda, típicos nas emissões de radiação eletromagnética entre diferentes níveis de energia do átomo de hidrogênio definem as suas raias espectrais, e podem ser determinados pela série de Balmer:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)
onde R_{H} é a constante de Rydberg para o hidrogênio. a) Utilize o resultado do ítem c da Questão 04 para determinar a variação de energia, \triangle E, entre dois estados definidos pelos número quânticos n_{i} e n_{f}\left(n_{f}=2\right. para a série de Balmer), e compare o resultado com a Equação E1 para determinar o valor numérico de R_{H}. b) Utilize o resultado do ítem anterior para determinar os comprimentos de onda das 4 primeiras raias na região da luz visível que compõem o espectro do hidrogênio e

Passo 1

O enunciado dá a série de Balmer e pede duas coisas:
  • (a) usar o resultado do item c da Questão 04 (energia dos níveis de Bohr) para obter a variação de energia entre dois níveis n_i e n_f (aqui n_f=2), e comparar com \Delta E = h\nu para obter numericamente a constante de Rydberg R_{H}.
  • (b) com o valor de R_{H} encontrado, calcular os comprimentos de onda das quatro primeiras raias visíveis da série de Balmer (transições n_i=3,4,5,6 para n_f=2).
Informações fornecidas / que vou usar (peguei do enunciado e do item c da Q04):
  • Série de Balmer:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right).
  • Resultado do item c da Questão 04 (fórmula de Bohr para as energias dos níveis do átomo de hidrogênio; vou usar este resultado):
E_{n}=-\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}.
Observações: E_n é a energia do elétron no nível n (valores negativos indicam ligação), h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. A energia do fóton emitido na transição é dada por \Delta E = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}.

Passo 2

Entendendo a relação entre as energias de Bohr e a fóton emitido (aula curta):
  • Se o elétron faz uma transição de um nível inicial n_i para um nível final n_f com n_i>n_f, a energia perdida pelo elétron (energia do fóton emitido) é a diferença
\Delta E = E_{i}-E_{f}.
  • Usando E_{n}=-\dfrac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}, calculamos
\Delta E = -\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n_i^{2}} -\left(-\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n_f^{2}}\right) =13{,}6\\ \mathrm{eV}\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
  • Para a série de Balmer temos n_f=2. Portanto
\Delta E = 13{,}6\\ \mathrm{eV}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
  • Também sabemos que a energia do fóton pode ser escrita em termos do comprimento de onda:
\Delta E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}.
  • Igualando as duas expressões para \Delta E obtemos
\frac{hc}{\lambda}=13{,}6\\ \mathrm{eV}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).

Passo 3

Comparando com a série de Balmer para extrair R_{H}:
  • A série de Balmer diz
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
  • Da igualdade \dfrac{hc}{\lambda}=13{,}6\\ \mathrm{eV}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{n_i^{2}}\right) podemos reescrever
\frac{1}{\lambda}=\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{hc}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
  • Comparando termo a termo com a fórmula de Balmer, vemos que
R_{H}=\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{hc}.
Isto é, R_H é a razão entre a energia de Rydberg (em joules) e hc.

Passo 4

Cálculo numérico de R_{H} (convertendo energia para SI):
  • Constantes usadas (valores numéricos adotados):
    • h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
    • c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Energia de Rydberg em joules:
13{,}6\\ \mathrm{eV}=13{,}6\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} =2{,}179\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\quad(\text{aprox.}).
  • Agora
R_{H}=\frac{2{,}179\times10^{-18}\\ \mathrm{J}}{(6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s})(2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})}.
  • Calcule o denominador: hc \approx 6{,}62607015\times10^{-34}\times2{,}99792458\times10^{8}=1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
  • Logo
R_{H}\approx\frac{2{,}179\times10^{-18}}{1{,}98644586\times10^{-25}}\\ \mathrm{m^{-1}} \approx1{,}097373\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
(Arredondamento: R_{H}\approx1{,}097\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.)

Passo 5

Cálculo dos comprimentos de onda das quatro primeiras raias visíveis (transições n_i=3,4,5,6 \to n_f=2):
  • Fórmula geral (Balmer):
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n_i^{2}}\right).
Vou usar R_{H}=1{,}097373\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}} nos cálculos e expressar \lambda em nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}).
  1. Para n_i=3:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=R_{H}\cdot\frac{5}{36}, \qquad \lambda=\frac{36}{5R_{H}}.
Numericamente:
\lambda_{3\to2}\approx\frac{36}{5\times1{,}097373\times10^{7}}\\ \mathrm{m} \approx6{,}5628\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=656{,}28\\ \mathrm{nm}.
  1. Para n_i=4:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)=R_{H}\cdot\frac{3}{16}, \qquad \lambda=\frac{16}{3R_{H}}.
Numericamente:
\lambda_{4\to2}\approx\frac{16}{3\times1{,}097373\times10^{7}}\\ \mathrm{m} \approx4{,}8613\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=486{,}13\\ \mathrm{nm}.
  1. Para n_i=5:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{25}\right)=R_{H}\cdot\frac{21}{100}, \qquad \lambda=\frac{100}{21R_{H}}.
Numericamente:
\lambda_{5\to2}\approx\frac{100}{21\times1{,}097373\times10^{7}}\\ \mathrm{m} \approx4{,}3405\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=434{,}05\\ \mathrm{nm}.
  1. Para n_i=6:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{36}\right)=R_{H}\cdot\frac{2}{9}, \qquad \lambda=\frac{9}{2R_{H}}.
Numericamente:
\lambda_{6\to2}\approx\frac{9}{2\times1{,}097373\times10^{7}}\\ \mathrm{m} \approx4{,}1017\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=410{,}17\\ \mathrm{nm}.

Resposta

\Delta E = 13{,}6\\ \mathrm{eV}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{n_i^{2}}\right);\quad R_{H}\approx1{,}097373\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}
\lambda_{3\to2}=656{,}28\\ \mathrm{nm}
\lambda_{4\to2}=486{,}13\\ \mathrm{nm}
\lambda_{5\to2}=434{,}05\\ \mathrm{nm}
\lambda_{6\to2}=410{,}17\\ \mathrm{nm}

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