Questão 05) De acordo com o modelo atómico de Bohr, a transição eletrônica para um nível de menor energia é acompanhada pela variação discreta de energia
, sendo
a frequência da radiação eletromagnética emitida na transição eletrônica. Os comprimentos de onda,
, típicos nas emissões de radiação eletromagnética entre diferentes níveis de energia do átomo de hidrogênio definem as suas raias espectrais, e podem ser determinados pela série de Balmer:
onde
é a constante de Rydberg para o hidrogênio. a) Utilize o resultado do ítem c da Questão 04 para determinar a variação de energia,
, entre dois estados definidos pelos número quânticos
e
para a série de Balmer), e compare o resultado com a Equação E1 para determinar o valor numérico de
. b) Utilize o resultado do ítem anterior para determinar os comprimentos de onda das 4 primeiras raias na região da luz visível que compõem o espectro do hidrogênio e
Passo 1
O enunciado dá a série de Balmer e pede duas coisas:
- (a) usar o resultado do item c da Questão 04 (energia dos níveis de Bohr) para obter a variação de energia entre dois níveis
e (aqui ), e comparar com para obter numericamente a constante de Rydberg . - (b) com o valor de
encontrado, calcular os comprimentos de onda das quatro primeiras raias visíveis da série de Balmer (transições para ).
Informações fornecidas / que vou usar (peguei do enunciado e do item c da Q04):
- Série de Balmer:
- Resultado do item c da Questão 04 (fórmula de Bohr para as energias dos níveis do átomo de hidrogênio; vou usar este resultado):
Observações:
é a energia do elétron no nível
(valores negativos indicam ligação),
é a constante de Planck e
a velocidade da luz. A energia do fóton emitido na transição é dada por
.
Passo 2
Entendendo a relação entre as energias de Bohr e a fóton emitido (aula curta):
- Se o elétron faz uma transição de um nível inicial
para um nível final com , a energia perdida pelo elétron (energia do fóton emitido) é a diferença
- Usando
, calculamos
- Para a série de Balmer temos
. Portanto
- Também sabemos que a energia do fóton pode ser escrita em termos do comprimento de onda:
- Igualando as duas expressões para
obtemos
Passo 3
Comparando com a série de Balmer para extrair
:
- A série de Balmer diz
- Da igualdade
podemos reescrever
- Comparando termo a termo com a fórmula de Balmer, vemos que
Isto é,
é a razão entre a energia de Rydberg (em joules) e
.
Passo 4
Cálculo numérico de
(convertendo energia para SI):
- Constantes usadas (valores numéricos adotados):
-
. -
. -
.
-
- Energia de Rydberg em joules:
- Agora
- Calcule o denominador:
. - Logo
(Arredondamento:
.)
Passo 5
Cálculo dos comprimentos de onda das quatro primeiras raias visíveis (transições
):
- Fórmula geral (Balmer):
Vou usar
nos cálculos e expressar
em nanômetros (
).
- Para
:
Numericamente:
- Para
:
Numericamente:
- Para
:
Numericamente:
- Para
:
Numericamente: