4 ^ a Calcule, se possível, f^prime(2) da função f(x)=l2 x+3, se x <= 2 3 x^2-1, se x>2.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = 2x + 3, & x <= 2, 3x^2 - 1, & x > 2,
e pede f'(2). Para que f seja derivável em x=2, é necessário que ela seja contínua em x=2 e que as derivadas laterais em 2 coincidam.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=2. Calculamos
f(2) = 2cdot2 + 3 = 7,
limxto2^- f(x) = 2cdot2 + 3 = 7,
limxto2^+ f(x) = 3cdot2^2 - 1 = 12 - 1 = 11
Como limxto2^-f(x)neq limxto2^+f(x), a função é descontínua em x=2. Logo, não pode ser derivável nesse ponto.

Passo 3

Para ilustrar, calculamos as derivadas laterais de cada ramo.
Para x<2:
f'(x) = 2 Longrightarrow f'-(2) = 2
Para x>2:
f'(x) = 6x Longrightarrow f'+(2) = 6cdot2 = 12

Passo 4

Vimos que f não é contínua em x=2 e que
f'-(2) = 2 neq 12 = f'+(2)
Portanto, f'(2) não existe.

Resposta

f'(2) não existe.

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