2a Dada a função: f(x)=c3+4 e^-x , se x>5 -3, se x=5 ln (5-x) , se x<5, encontre todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico desta função. (USE limite para justificar)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= 3+4e^-x,&x>5, -3,&x=5, ln(5-x),&x<5,
e pede todas as assíntotas horizontais e verticais. O conteúdo aqui é análise de limites para identificar divergências (assíntotas verticais) e limites no infinito (assíntotas horizontais).

Passo 2

Para achar assíntotas verticais, buscamos pontos a onde limxto af(x)=pminfty. Note que a parte ln(5-x) está definida só para x<5.
Ao fazermos
limxto5^-ln(5-x)=ln(0^+)=-infty,
vemos que f(x) diverge para -infty ao nos aproximarmos de 5 pela esquerda. Portanto
x=5 é assíntota vertical.

Passo 3

Para assíntotas horizontais, calculamos os limites em +infty e em -infty:
  1. xto+infty: use o ramo 3+4e^-x.
limxto+inftyl(3+4e^-xr) =3+4cdot0=3
Logo y=3 é assíntota horizontal à direita.
  1. xto-infty: use o ramo ln(5-x).
limxto-inftyln(5-x) =ln(+infty)=+infty,
não dá constante, então não há assíntota horizontal à esquerda.

Resposta

Assíntota vertical: x=5.
Assíntota horizontal: y=3.

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