Seja S a superfície definida por z=2+raizx^2+y^2.
A) Identifique a interseção de S com o plano z=k, quando k<2, k=2 e k>2.
B) Identifique as interseções de S com os planos x z e y x.
C) Faça um esboço de S.

Passo 1

O enunciado define a superfície
S:;z=2+raizx^2+y^2,
que é um cone circular reto com vértice em (0,0,2) e geratrizes formando 45^circ com o plano xy.
Precisamos encontrar
1. as interseções Scapz=k para k<2, k=2 e k>2,
2. as interseções com os planos xz (ou seja y=0) e yz (ou seja x=0),
3. um esboço de S.

Passo 2

Para intersectar com o plano z=k resolvemos
k=2+raizx^2+y^2 Longrightarrow raizx^2+y^2=k-2
  • Se k<2, então k-2<0 e não há solução real: a interseção é o conjunto vazio.
  • Se k=2, então raizx^2+y^2=0, isto é x^2+y^2=0, só ocorre em (0,0), logo a interseção é o ponto (0,0,2).
  • Se k>2, então raizx^2+y^2=k-2 e x^2+y^2=(k-2)^2, ou seja, uma circunferência de raio k-2 no plano z=k.

Passo 3

Intersecções com planos coordenados:
Para o plano xz (ou seja y=0),
z=2+raizx^2+0=2+|x|,
que no plano xz são duas semirretas unidas em (0,2):
z=2+x(x>=0), z=2-x(x<=0)
Para o plano yz (ou seja x=0),
z=2+raiz0+y^2=2+|y|,
que no plano yz é o gráfico de duas semirretas unidas em (0,2).
(Se quiséssemos a interseção com o plano xy, isto é z=0, viríamos à equação 0=2+raizx^2+y^2, sem solução, pois o termo à direita é sempre >= 2.)

Passo 4

Esboço de S:
– Vértice em (0,0,2).
– Geratrizes são retas que saem deste vértice e crescem com inclinação 45^circ.
– Cada seção horizontal z=k (para k>2) é uma circunferência de raio k-2.
No desenho, imagine um cone circular reto “em pé”, deslocado 2 unidades para cima ao longo do eixo z.

Resposta

A)
B)
,
no plano .
C)
É um cone circular reto de vértice em , semiângulo , com cortes horizontais em círculos de raio .

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