Sejam f, g: R longrightarrow R funções dadas por f(x)=2 x+u e g(x)=-x+w. Se f(f(x))=4 x-3 e f(g(x))=g(f(x)), determine:
(a) u, w in R;
(b) x in R, tais que f(x)g(x) <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções: f(x) = 2x + u e g(x) = -x + w . A gente precisa descobrir os valores de u e w que satisfazem duas condições:
  1. f(f(x)) = 4x - 3
  2. f(g(x)) = g(f(x))
Depois, no item (b), temos que encontrar os valores de x que fazem a razão f(x)g(x) ser menor ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de composição de funções e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a condição f(f(x)) = 4x - 3 . Isso significa que se aplicarmos a função f duas vezes, o resultado deve ser igual a 4x - 3 .
Sabemos que:
f(x) = 2x + u
Então, aplicando f de novo:
f(f(x)) = f(2x + u) = 2(2x + u) + u = 4x + 2u + u = 4x + 3u
De acordo com a condição:
4x + 3u = 4x - 3
Agora, igualamos os termos:
4x + 3u = 4x - 3
3u = -3
u = -1

Passo 3

Com u = -1 , agora vamos resolver a segunda condição: f(g(x)) = g(f(x)) .
Primeiro, calculamos f(g(x)) :
g(x) = -x + w
f(g(x)) = f(-x + w) = 2(-x + w) + u = -2x + 2w + (-1) = -2x + 2w - 1
Agora, calculamos g(f(x)) :
f(x) = 2x - 1
g(f(x)) = g(2x - 1) = -(2x - 1) + w = -2x + 1 + w = -2x + w + 1
Igualando as duas expressões:
-2x + 2w - 1 = -2x + w + 1
Os termos com x se cancelam, então:
2w - 1 = w + 1
2w - w = 1 + 1
w = 2

Passo 4

Agora que temos u = -1 e w = 2 , vamos para o item (b): encontrar os valores de x tais que f(x)g(x) <= 0 .
Primeiro, substituímos u e w nas funções:
f(x) = 2x - 1
g(x) = -x + 2
Então, a expressão fica:
2x - 1-x + 2 <= 0

Passo 5

Para resolver a desigualdade 2x - 1-x + 2 <= 0 , vamos identificar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são iguais a zero.
  1. Numerador: 2x - 1 = 0 Rightarrow x = 12
  2. Denominador: -x + 2 = 0 Rightarrow x = 2 (não está no domínio, já que dividimos por zero)
Agora, dividimos a linha dos números reais em intervalos usando esses pontos:
  • x < 12
  • 12 < x < 2
  • x > 2

Passo 6

Vamos testar cada intervalo para ver onde a desigualdade é verdadeira.
  1. Para x < 12 :
    • Escolha x = 0 :
2(0) - 1-0 + 2 = -12 = -0,5 <= 0
→ Válido
  1. Para 12 < x < 2 :
    • Escolha x = 1 :
2(1) - 1-1 + 2 = 11 = 1 <= 0
→ Inválido
  1. Para x > 2 :
    • Escolha x = 3 :
2(3) - 1-3 + 2 = 5-1 = -5 <= 0
→ Válido
Além disso, x = 12 faz a expressão ser igual a zero, que também satisfaz a desigualdade.

Resposta

(a) u = -1 e w = 2
(b) Todos os números reais x tais que x <= 12 ou x > 2

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