Sejam
funções dadas por
e
. Se
e
, determine:
(a)
;
(b)
, tais que
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções:
e
. A gente precisa descobrir os valores de
e
que satisfazem duas condições:
Depois, no item (b), temos que encontrar os valores de
que fazem a razão
ser menor ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de composição de funções e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a condição
. Isso significa que se aplicarmos a função
duas vezes, o resultado deve ser igual a
.
Sabemos que:
Então, aplicando
de novo:
De acordo com a condição:
Agora, igualamos os termos:
Passo 3
Com
, agora vamos resolver a segunda condição:
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Igualando as duas expressões:
Os termos com
se cancelam, então:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos para o item (b): encontrar os valores de
tais que
.
Primeiro, substituímos
e
nas funções:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Para resolver a desigualdade
, vamos identificar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são iguais a zero.
- Numerador:
- Denominador:
(não está no domínio, já que dividimos por zero)
Agora, dividimos a linha dos números reais em intervalos usando esses pontos:
Passo 6
Vamos testar cada intervalo para ver onde a desigualdade é verdadeira.
- Para
: - Escolha
:
- Escolha
→ Válido
- Para
: - Escolha
:
- Escolha
→ Inválido
- Para
: - Escolha
:
- Escolha
→ Válido
Além disso,
faz a expressão ser igual a zero, que também satisfaz a desigualdade.
Resposta
(a)
e
(b) Todos os números reais
tais que
ou