Considere o problema de valor inicial para .
(b) Calcule as raízes da equação característica. Escreva a expressão para y1(t), uma das soluções desta equação diferencial.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo aqui é calcular as raízes da equação característica associada e escrever a expressão para uma das soluções, . Para isso, vamos precisar entender como montar e resolver a equação característica de uma equação diferencial linear homogênea.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação diferencial dada:
4 y'' + 4 y' + y = 0
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos formar a equação característica. Substituímos 4 r^2 + 4 r + 1 = 0 por , por , e por 1, obtendo:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Passo 5
Calculando o discriminante:
De
Como , temos raízes reais e iguais.
Passo 6
Calculando as raízes:
r = -4 pm raiz08 = -48 = -0,5
Então, as duas raízes são iguais a .
Passo 7
Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^-0,5 t
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.