Considere o problema de valor inicial para y(t):c4 y^prime prime+4 y^prime+y=0 y(0)=1 y^prime(0)=2.
(b) Calcule as raízes da equação característica. Escreva a expressão para y1(t), uma das soluções desta equação diferencial.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo aqui é calcular as raízes da equação característica associada e escrever a expressão para uma das soluções, . Para isso, vamos precisar entender como montar e resolver a equação característica de uma equação diferencial linear homogênea.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação diferencial dada:
4 y'' + 4 y' + y = 0
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos formar a equação característica. Substituímos 4 r^2 + 4 r + 1 = 0 por , por , e por 1, obtendo:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 5

Calculando o discriminante:
De
Como , temos raízes reais e iguais.

Passo 6

Calculando as raízes:
r = -4 pm raiz08 = -48 = -0,5
Então, as duas raízes são iguais a .

Passo 7

Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^-0,5 t
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

Uma das soluções da equação diferencial é:
y1(t) = e^-0,5, t

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