Calcule, se possivel, \max \left\{D_{v}(f)(p):\|v\|=1\right\} e a direção em que ocorre.
f(x, y, z)=x^{2} y-5 x z^{2}+3 y^{2} z, P=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se possível, o valor máximo de
\{D_{v}(f)(p):\|v\|=1\}
e a direção em que esse máximo ocorre, dado:
  • A função f(x,y,z)=x^{2}y-5xz^{2}+3y^{2}z.
  • O ponto P=(1,1,1).
    As quantidades que já estão fornecidas são a fórmula de f e as coordenadas do ponto P. O que se pede é (1) o maior valor possível do derivada direcional de f em P quando a direção v tem norma 1, e (2) qual é o vetor unitário v em que esse máximo ocorre.

Passo 2

Conceitos úteis — explicados passo a passo:
  • Definição prática de derivada direcional: para uma função diferenciável f e um vetor unitário v, a derivada direcional de f em p na direção v é
D_{v}f(p)=\nabla f(p)\cdot v,
onde \nabla f(p) é o gradiente de f em p e \cdot indica produto escalar.
  • Aqui \nabla f(p) é o vetor dos parciais de f avaliados em p: \nabla f(p)=(f_x(p),f_y(p),f_z(p)).
  • O vetor v tem norma \|v\|=1 (ou seja, é unitário).
  • A ideia para achar o máximo: o produto escalar entre dois vetores a e v satisfaz a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
a\cdot v \le \|a\|\,\|v\|.
  • Se \|v\|=1, então a\cdot v \le \|a\|.
  • A igualdade ocorre exatamente quando v é paralelo a a (ou seja, v tem a mesma direção de a).
Portanto, se conhecermos \nabla f(p), o máximo de D_v f(p) para \|v\|=1 será \|\nabla f(p)\|, e a direção que atinge esse máximo é a direção do próprio gradiente, isto é, o vetor unitário \dfrac{\nabla f(p)}{\|\nabla f(p)\|}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Derivar termo a termo (explicando cada termo):
  • Para o termo x^{2}y: tratar y como constante ao derivar em relação a x. Assim
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2xy.
  • Para o termo -5xz^{2}: z é tratado como constante ao derivar em relação a x, então
\frac{\partial}{\partial x}(-5xz^{2})=-5z^{2}.
  • O termo 3y^{2}z não depende de x, logo sua derivada parcial em x é 0.
Somando, obtemos
f_x(x,y,z)=2xy-5z^{2}.
Agora a parcial em relação a y:
  • \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2} (porque x^2 é constante aqui).
  • \frac{\partial}{\partial y}(-5xz^{2})=0 (não depende de y).
  • \frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}z)=6yz (regra do poder: 2\cdot3y^{1}z).
Somando,
f_y(x,y,z)=x^{2}+6yz.
Finalmente a parcial em relação a z:
  • \frac{\partial}{\partial z}(x^{2}y)=0.
  • \frac{\partial}{\partial z}(-5xz^{2})=-10xz (derivada de z^2 é 2z, multiplicar por -5x).
  • \frac{\partial}{\partial z}(3y^{2}z)=3y^{2}.
Assim
f_z(x,y,z)=-10xz+3y^{2}.

Passo 4

Agora avaliamos as parciais no ponto P=(1,1,1). Substituir x=1, y=1, z=1 em cada expressão:
f_x(1,1,1)=2\cdot1\cdot1-5\cdot1^{2}=2-5=-3,
f_y(1,1,1)=1^{2}+6\cdot1\cdot1=1+6=7,
f_z(1,1,1)=-10\cdot1\cdot1+3\cdot1^{2}=-10+3=-7.
Portanto o gradiente em P é
\boxed{\nabla f(1,1,1)=(-3,\,7,\,-7).}

Passo 5

Calcular a norma do gradiente (passo necessário para encontrar o máximo):
  • Normas em \mathbb{R}^3: para a=(a_1,a_2,a_3), \|a\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}.
    Aplicando ao gradiente,
\|\nabla f(1,1,1)\|=\sqrt{(-3)^{2}+7^{2}+(-7)^{2}}=\sqrt{9+49+49}=\sqrt{107}.

Passo 6

Aplicando a desigualdade de Cauchy–Schwarz ao produto \nabla f(1,1,1)\cdot v com \|v\|=1:
D_v f(1,1,1)=\nabla f(1,1,1)\cdot v \le \|\nabla f(1,1,1)\|\,\|v\|=\sqrt{107}\cdot 1=\sqrt{107}.
A igualdade ocorre quando v é paralelo a \nabla f(1,1,1). Assim a direção que maximiza a derivada direcional é o vetor unitário na direção do gradiente:
v_{\text{máx}}=\frac{\nabla f(1,1,1)}{\|\nabla f(1,1,1)\|}=\frac{1}{\sqrt{107}}(-3,\,7,\,-7).á

Passo 7

Interpretação final e dica de prova: o maior valor possível de D_v f(1,1,1) quando \|v\|=1 é exatamente \|\nabla f(1,1,1)\|. No exame, o procedimento padrão é:
  1. calcular \nabla f por derivadas parciais;
  2. avaliar em P;
  3. calcular a norma do gradiente para obter o máximo;
  4. normalizar o gradiente para obter a direção unitária onde o máximo ocorre.

Resposta

\displaystyle \max\{D_{v}(f)(p):\|v\|=1\}=\sqrt{107}
\displaystyle v_{\text{máx}}=\frac{1}{\sqrt{107}}(-3,\,7,\,-7)á

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