Calcule, se possivel,
e a direção em que ocorre.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se possível, o valor máximo de
e a direção em que esse máximo ocorre, dado:
- A função
. - O ponto
.
As quantidades que já estão fornecidas são a fórmula dee as coordenadas do ponto . O que se pede é (1) o maior valor possível do derivada direcional de em quando a direção tem norma , e (2) qual é o vetor unitário em que esse máximo ocorre.
Passo 2
Conceitos úteis — explicados passo a passo:
- Definição prática de derivada direcional: para uma função diferenciável
e um vetor unitário , a derivada direcional de em na direção é
onde
é o gradiente de
em
e
indica produto escalar.
- Aqui
é o vetor dos parciais de avaliados em : . - O vetor
tem norma (ou seja, é unitário). - A ideia para achar o máximo: o produto escalar entre dois vetores
e satisfaz a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
- Se
, então . - A igualdade ocorre exatamente quando
é paralelo a (ou seja, tem a mesma direção de ).
Portanto, se conhecermos
, o máximo de
para
será
, e a direção que atinge esse máximo é a direção do próprio gradiente, isto é, o vetor unitário
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Derivar termo a termo (explicando cada termo):
- Para o termo
: tratar como constante ao derivar em relação a . Assim
- Para o termo
: é tratado como constante ao derivar em relação a , então
- O termo
não depende de , logo sua derivada parcial em é .
Somando, obtemos
Agora a parcial em relação a
:
-
(porque é constante aqui). -
(não depende de ). -
(regra do poder: ).
Somando,
Finalmente a parcial em relação a
:
-
. -
(derivada de é , multiplicar por ). -
.
Assim
Passo 4
Agora avaliamos as parciais no ponto
. Substituir
,
,
em cada expressão:
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Calcular a norma do gradiente (passo necessário para encontrar o máximo):
- Normas em
: para , .
Aplicando ao gradiente,
Passo 6
Aplicando a desigualdade de Cauchy–Schwarz ao produto
com
:
A igualdade ocorre quando
é paralelo a
. Assim a direção que maximiza a derivada direcional é o vetor unitário na direção do gradiente:
Passo 7
Interpretação final e dica de prova: o maior valor possível de
quando
é exatamente
. No exame, o procedimento padrão é:
- calcular
por derivadas parciais; - avaliar em
; - calcular a norma do gradiente para obter o máximo;
- normalizar o gradiente para obter a direção unitária onde o máximo ocorre.