Calcule, se possivel,
e a direção em que ocorre.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas em
: (i) calcular
e (ii) indicar a direção (o vetor unitário
) em que esse máximo ocorre. A função dada é
e estamos interessados nas derivadas em
.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
é dada por
onde
é o gradiente de
em
e
é o produto escalar. Assim, para maximizar
sobre
basta estudar o produto escalar entre
e vetores unitários.
Explicando por que isso resolve o problema (ideia): pelo desigualdade de Cauchy–Schwarz,
quando
. A igualdade ocorre quando
é paralelo a
. Portanto o máximo procurado é
e ocorre na direção do gradiente.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. Para isso preciso das derivadas parciais; uso as derivadas das funções hiperbólicas:
e
. Calculando termo a termo:
-
Derivada parcial em relação a
:
a derivada deem é (porque é constante em );
a derivada deem é ;
a derivada deem é .
Logo -
Derivada parcial em relação a
:
a derivada deem é ;
a derivada deem é (regra da cadeia: );
a derivada deem é .
Logo -
Derivada parcial em relação a
:
a derivada deem é ;
a derivada deem é ;
a derivada deem é (porque ).
Logo
Passo 4
Agora avalio as parciais em
. Lembro que
,
,
e
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Portanto o gradiente em
é
Passo 6
Pelo argumento com Cauchy–Schwarz no Passo 2, o máximo de
para
é
. Calculo a norma:
A igualdade na desigualdade de Cauchy–Schwarz (e portanto o máximo) ocorre quando
é paralelo a
. O vetor unitário nessa direção é
Passo 7
Resumo prático (como fazer rapidinho na prova): calcule
, tire sua norma para obter o valor máximo
e normalize o gradiente para obter a direção que dá esse máximo.