Calcule, se possivel, \max \left\{D_{v}(f)(p):\|v\|=1\right\} e a direção em que ocorre.
f(x, y, z)=e^{x} \operatorname{cosh} z+e^{5 y} \operatorname{senh}(x)+e^{-z} \operatorname{cosh} y \quad P=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em P=(0,0,0): (i) calcular \displaystyle \max\{D_{v}f(p):\|v\|=1\} e (ii) indicar a direção (o vetor unitário v) em que esse máximo ocorre. A função dada é
f(x,y,z)=e^{x}\operatorname{cosh} z + e^{5y}\operatorname{sinh} x + e^{-z}\operatorname{cosh} y,
e estamos interessados nas derivadas em P=(0,0,0).

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a derivada direcional de f no ponto p na direção do vetor unitário v é dada por
D_{v}f(p)=\nabla f(p)\cdot v,
onde \nabla f(p) é o gradiente de f em p e \cdot é o produto escalar. Assim, para maximizar D_{v}f(p) sobre \|v\|=1 basta estudar o produto escalar entre \nabla f(p) e vetores unitários.
Explicando por que isso resolve o problema (ideia): pelo desigualdade de Cauchy–Schwarz,
\nabla f(p)\cdot v \le \|\nabla f(p)\|\,\|v\| = \|\nabla f(p)\|
quando \|v\|=1. A igualdade ocorre quando v é paralelo a \nabla f(p). Portanto o máximo procurado é \|\nabla f(p)\| e ocorre na direção do gradiente.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente \nabla f=(f_x,f_y,f_z). Para isso preciso das derivadas parciais; uso as derivadas das funções hiperbólicas: \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x e \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x. Calculando termo a termo:
  • Derivada parcial em relação a x:
    a derivada de e^{x}\operatorname{cosh} z em x é e^{x}\operatorname{cosh} z (porque \operatorname{cosh} z é constante em x);
    a derivada de e^{5y}\operatorname{sinh} x em x é e^{5y}\operatorname{cosh} x;
    a derivada de e^{-z}\operatorname{cosh} y em x é 0.
    Logo
    f_x(x,y,z)=e^{x}\operatorname{cosh} z + e^{5y}\operatorname{cosh} x.
  • Derivada parcial em relação a y:
    a derivada de e^{x}\operatorname{cosh} z em y é 0;
    a derivada de e^{5y}\operatorname{sinh} x em y é 5e^{5y}\operatorname{sinh} x (regra da cadeia: (e^{5y})'=5e^{5y});
    a derivada de e^{-z}\operatorname{cosh} y em y é e^{-z}\operatorname{sinh} y.
    Logo
    f_y(x,y,z)=5e^{5y}\operatorname{sinh} x + e^{-z}\operatorname{sinh} y.
  • Derivada parcial em relação a z:
    a derivada de e^{x}\operatorname{cosh} z em z é e^{x}\operatorname{sinh} z;
    a derivada de e^{5y}\operatorname{sinh} x em z é 0;
    a derivada de e^{-z}\operatorname{cosh} y em z é -e^{-z}\operatorname{cosh} y (porque (e^{-z})'=-e^{-z}).
    Logo
    f_z(x,y,z)=e^{x}\operatorname{sinh} z - e^{-z}\operatorname{cosh} y.

Passo 4

Agora avalio as parciais em P=(0,0,0). Lembro que e^{0}=1, \operatorname{cosh} 0=1, \operatorname{sinh} 0=0 e e^{5\cdot 0}=1.
  • Para f_x:
    f_x(0,0,0)=e^{0}\operatorname{cosh} 0 + e^{0}\operatorname{cosh} 0 = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 2.
  • Para f_y:
    f_y(0,0,0)=5e^{0}\operatorname{sinh} 0 + e^{0}\operatorname{sinh} 0 = 5\cdot 1\cdot 0 + 1\cdot 0 = 0.
  • Para f_z:
    f_z(0,0,0)=e^{0}\operatorname{sinh} 0 - e^{0}\operatorname{cosh} 0 = 0 - 1 = -1.

Passo 5

Portanto o gradiente em P é
\nabla f(0,0,0) = (2,\,0,\,-1).

Passo 6

Pelo argumento com Cauchy–Schwarz no Passo 2, o máximo de D_{v}f(p)=\nabla f(p)\cdot v para \|v\|=1 é \|\nabla f(p)\|. Calculo a norma:
\|\nabla f(0,0,0)\| = \sqrt{2^{2}+0^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}.
A igualdade na desigualdade de Cauchy–Schwarz (e portanto o máximo) ocorre quando v é paralelo a \nabla f(0,0,0). O vetor unitário nessa direção é
v=\frac{\nabla f(0,0,0)}{\|\nabla f(0,0,0)\|} = \frac{1}{\sqrt{5}}\,(2,\,0,\,-1).

Passo 7

Resumo prático (como fazer rapidinho na prova): calcule \nabla f(p), tire sua norma para obter o valor máximo \|\nabla f(p)\| e normalize o gradiente para obter a direção que dá esse máximo.

Resposta

\sqrt{5}
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}(2,\,0,\,-1)

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