Calcule a derivada direcional de f em P na direção do vetor dado
f(x, y, z)=\ln \left(\left|x-y-z^{2}\right|\right) P=(0,2,0) e v=\frac{\sqrt{2}}{2} i-\frac{\sqrt{2}}{2} k=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá exatamente isto:
  • Função: f(x,y,z)=\ln\!\left(\left|x-y-z^{2}\right|\right).
  • Ponto: P=(0,2,0).
  • Vetor direção: v=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},0,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
O que é pedido: calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor dado v.

Passo 2

Definição e ideia que vou usar (explicação didática):
  • A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u é, por definição,
D_{u}f(P)=\lim_{t\to 0}\frac{f(P+t u)-f(P)}{t}.
  • Se f é diferenciável em P (o que vamos verificar), então essa derivada direcional pode ser calculada com o produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário u:
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
  • O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais: \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z).
    Vou então (i) checar que v é unitário, (ii) obter \nabla f(P) e (iii) fazer o produto escalar \nabla f(P)\cdot v.

Passo 3

Verificar que v já é unitário:
\|v\|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+0^{2}+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
Logo v é um vetor unitário e pode ser usado diretamente como u.

Passo 4

Tratar o valor absoluto e diferenciabilidade:
  • Defina h(x,y,z)=x-y-z^{2}. Então f(x,y,z)=\ln\!\left(|h(x,y,z)|\right).
  • Avaliando em P:
h(P)=0-2-0=-2.
Como h(P)=-2\neq 0, em uma vizinhança de P a função h permanece diferente de zero e tem sinal constante (aqui, negativa). Portanto |h| = -h nessa vizinhança e f é diferenciável em P.
  • Regra da cadeia (derivada de \ln|h| em termos de h): para h\neq 0,
\frac{d}{dh}\ln|h|=\frac{1}{h},
portanto, aplicando a regra da cadeia,
\nabla f(x,y,z)=\frac{1}{h(x,y,z)}\,\nabla h(x,y,z).

Passo 5

Calcular \nabla h e avaliar em P:
  • Derivadas parciais de h(x,y,z)=x-y-z^{2}:
\nabla h(x,y,z)=\left(\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial h}{\partial y},\frac{\partial h}{\partial z}\right)=(1,-1,-2z).
  • Em P=(0,2,0) obtemos
\nabla h(P)=(1,-1,0).
  • Usando \nabla f(P)=\dfrac{1}{h(P)}\nabla h(P) e lembrando h(P)=-2,
\displaystyle \nabla f(P)=\frac{1}{-2}(1,-1,0)=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(P)\cdot v:
D_{v}f(P)=\nabla f(P)\cdot v=\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\right)\cdot\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2},0,-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Fazendo o produto componente a componente:
D_{v}f(P)=-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot 0 + 0\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) =-\tfrac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{2}}{4}

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