Calcule a derivada direcional de f em P na direção do vetor dado f(x, y, z)=\ln \left(\left|x-y-z^{2}\right|\right) P=(0,2,0) e v=\frac{\sqrt{2}}{2} i-\frac{\sqrt{2}}{2} k=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
O que é pedido: calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor dado v.
Passo 2
Definição e ideia que vou usar (explicação didática):
A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u é, por definição,
D_{u}f(P)=\lim_{t\to 0}\frac{f(P+t u)-f(P)}{t}.
Se f é diferenciável em P (o que vamos verificar), então essa derivada direcional pode ser calculada com o produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário u:
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais: \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z).
Vou então (i) checar que v é unitário, (ii) obter \nabla f(P) e (iii) fazer o produto escalar \nabla f(P)\cdot v.
Logo v é um vetor unitário e pode ser usado diretamente como u.
Passo 4
Tratar o valor absoluto e diferenciabilidade:
Defina h(x,y,z)=x-y-z^{2}. Então f(x,y,z)=\ln\!\left(|h(x,y,z)|\right).
Avaliando em P:
h(P)=0-2-0=-2.
Como h(P)=-2\neq 0, em uma vizinhança de P a função h permanece diferente de zero e tem sinal constante (aqui, negativa). Portanto |h| = -h nessa vizinhança e f é diferenciável em P.
Regra da cadeia (derivada de \ln|h| em termos de h): para h\neq 0,