Calcule, se possível, as seguintes integrais impróprias:
\int_{1}^{3} \sqrt{x^{2}-6 x+13} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{3}\sqrt{x^{2}-6x+13}\,dx.
O conteúdo principal aqui é reconhecer a expressão dentro da raiz, completar o quadrado e usar a fórmula para
\int\sqrt{t^{2}+a^{2}}\,dt.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x^{2}-6x+13. Note que
x^{2}-6x+13 = (x^{2}-6x+9)+4 = (x-3)^{2}+4.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t = x-3,\quad dx = dt.
Quando x=1, t=-2; quando x=3, t=0. A integral vira
\int_{-2}^{0}\sqrt{t^{2}+4}\,dt.

Passo 4

A primitiva de \sqrt{t^{2}+a^{2}} é
\int\sqrt{t^{2}+a^{2}}\,dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\ln\bigl|t+\sqrt{t^{2}+a^{2}}\bigr| + C.
Aqui a=2, logo uma antiderivada válida é
F(t) = \frac{t}{2}\sqrt{t^{2}+4} + 2\ln\bigl|t+\sqrt{t^{2}+4}\bigr|.

Passo 5

Agora avaliamos de t=-2 até t=0:
Para t=0:
F(0) = 0 + 2\ln\bigl|0+\sqrt{0+4}\bigr| = 2\ln(2).
Para t=-2:
F(-2) = \frac{-2}{2}\sqrt{(-2)^{2}+4} + 2\ln\bigl|-2+\sqrt{4+4}\bigr| = -\sqrt{8} + 2\ln\bigl(2(\sqrt2-1)\bigr).
Portanto
\int_{-2}^{0}\sqrt{t^{2}+4}\,dt = F(0)-F(-2) = 2\ln(2) -\bigl(-2\sqrt2 + 2\ln2 +2\ln(\sqrt2-1)\bigr) = 2\sqrt2 -2\ln(\sqrt2-1).
Usando \ln(\sqrt2-1)=-\ln(\sqrt2+1), obtemos
2\sqrt2 -2\ln(\sqrt2-1) = 2\sqrt2 +2\ln(\sqrt2+1).

Resposta

\boxed{\,\int_{1}^{3}\sqrt{x^{2}-6x+13}\,dx = 2\sqrt2 +2\ln\bigl(\sqrt2+1\bigr)\,.}

Exercícios relacionados