Em equações diferenciais, define-se a Transformada de Laplace de uma função
por
para todo
para o qual a integral imprópria seja convergente. Encontre a Transformada de Laplace de:
(b)
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
. Lembrando que, pela definição,
precisamos avaliar
no intervalo de convergência (que ocorre para
). Vamos usar integração por partes para resolver esse integral impróprio.
Passo 2
Defina
Primeiro aplicamos integração por partes em
, tomando
Isso dá
Como
em
para
, temos o termo de contorno igual a
. Logo
Passo 3
Agora integremos por partes em
, escolhendo
Assim
pois o termo de contorno anula e sobra
. Portanto
Passo 4
Substituindo
na expressão de
do Passo 2, temos
Multiplicando tudo por
resulta