Em equações diferenciais, define-se a Transformada de Laplace de uma função f por
L(f(x))=\int_{0}^{+\infty} e^{-s x} f(x) d xpara todo s \in \mathbb{R} para o qual a integral imprópria seja convergente. Encontre a Transformada de Laplace de:
(b) f(x)=\cos x

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(x)=\cos x. Lembrando que, pela definição,
L\{f(x)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}f(x)\,dx,
precisamos avaliar
I(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}\cos x\,dx
no intervalo de convergência (que ocorre para s>0). Vamos usar integração por partes para resolver esse integral impróprio.

Passo 2

Defina
I(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}\cos x\,dx \quad\text{e}\quad J(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}\sin x\,dx.
Primeiro aplicamos integração por partes em I(s), tomando
u=\cos x,\quad dv=e^{-s x}dx \quad\Rightarrow\quad du=-\sin x\,dx,\quad v=-\frac{e^{-s x}}{s}.
Isso dá
I(s) =\Bigl[u\,v\Bigr]_0^{\infty}-\int_{0}^{\infty}v\,du =\Bigl[-\tfrac{e^{-s x}\cos x}{s}\Bigr]_0^{\infty} -\int_{0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{e^{-s x}}{s}\bigr)(-\,\sin x)\,dx.
Como e^{-s x}\cos x\to0 em x\to\infty para s>0, temos o termo de contorno igual a \tfrac{1}{s}. Logo
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}J(s).

Passo 3

Agora integremos por partes em J(s), escolhendo
u=\sin x,\quad dv=e^{-s x}dx \quad\Rightarrow\quad du=\cos x\,dx,\quad v=-\frac{e^{-s x}}{s}.
Assim
J(s) =\Bigl[-\tfrac{e^{-s x}\sin x}{s}\Bigr]_0^{\infty} -\int_{0}^{\infty}\bigl(-\tfrac{e^{-s x}}{s}\bigr)\cos x\,dx =0+\frac{1}{s}I(s),
pois o termo de contorno anula e sobra \tfrac{1}{s}I(s). Portanto
J(s)=\frac{1}{s}I(s).

Passo 4

Substituindo J(s)=\tfrac{1}{s}I(s) na expressão de I(s) do Passo 2, temos
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s}\Bigl(\frac{1}{s}I(s)\Bigr) =\frac{1}{s}-\frac{1}{s^2}I(s).
Multiplicando tudo por s^2 resulta
s^2 I(s)=s - I(s) \quad\Longrightarrow\quad I(s)\,(s^2+1)=s \quad\Longrightarrow\quad I(s)=\frac{s}{s^2+1}.

Resposta

L\{\cos x\}(s)=\frac{s}{s^2+1},\quad s>0.

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