A função gama é definida para todo x>0 por
\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} d t
(a) Calcule \Gamma(1) e \Gamma(2).
(b) Mostre que, para n inteiro positivo, \Gamma(n+1)=n \Gamma(n).

Passo 1

O enunciado define a função Gama por
\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt\,,\quad x>0,
e pede (a) os valores de \Gamma(1) e \Gamma(2), e (b) que se prove a relação de recorrência \Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n) para n inteiro positivo. Para isso, vamos usar avaliação direta de integrais e o método de integração por partes.

Passo 2

Calcular \Gamma(1) substituindo x=1:
\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}t^{1-1}e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt.
Essa integral é imediata:
\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt =\bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty} =\bigl(0-(-1)\bigr)=1.
Logo \Gamma(1)=1.

Passo 3

Calcular \Gamma(2) substituindo x=2:
\Gamma(2)=\int_{0}^{\infty}t^{2-1}e^{-t}\,dt =\int_{0}^{\infty}t\,e^{-t}\,dt.
Usamos integração por partes escolhendo
u=t,\quad dv=e^{-t}dt \quad\longrightarrow\quad du=dt,\quad v=-e^{-t}.
Então
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-t}\,dt =\bigl[-t\,e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty}1\cdot e^{-t}\,dt =0+1=1.
Portanto \Gamma(2)=1.

Passo 4

Para provar a recorrência, observe que, para n\in\mathbb{Z}^+,
\Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-t}\,dt.
Aplicando integração por partes com
u=t^{n},\quad dv=e^{-t}dt \quad\longrightarrow\quad du=n\,t^{n-1}dt,\quad v=-e^{-t},
obtém-se
\Gamma(n+1) =\bigl[-t^{n}e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty} + n\int_{0}^{\infty}t^{n-1}e^{-t}\,dt =0 + n\,\Gamma(n).
Isso mostra exatamente que
\Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n).

Resposta

(a) \Gamma(1)=1, \Gamma(2)=1.
(b) Para n inteiro positivo, \Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n).

Exercícios relacionados